Géométrie Plane · Fiche N°55 / 104

La tangente : calculer un angle

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

📚 Niveau 3ème ⏱ Lecture : 4 min ✅ Tombe au Brevet

Définition

La tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et la longueur du côté adjacent à cet angle.
Pour un angle aigu $\widehat{A}$ dans un triangle rectangle :
$$\text{tan}(\widehat{A}) = \frac{\text{côté opposé à } \widehat{A}}{\text{côté adjacent à } \widehat{A}}$$
Pour calculer la mesure de l'angle $\widehat{A}$ à partir de la valeur de sa tangente, on utilise la fonction réciproque de la tangente, notée $\text{arctan}$ ou $\text{tan}^{-1}$ :
$$\widehat{A} = \text{arctan}\left(\frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}\right)$$

tan(α) = oppose / adjacent
💡 Bon réflexe : Dessinez toujours le triangle et identifiez clairement l'angle, le côté opposé et le côté adjacent avant de commencer les calculs.

Méthode — La tangente : calculer un angle

1

Identifier le triangle rectangle et l'angle à calculer

Assurez-vous que le triangle est bien rectangle. Repérez l'angle dont vous voulez calculer la mesure.

2

Identifier les côtés opposé et adjacent

Par rapport à l'angle choisi :

  • Le côté opposé est le côté qui ne touche pas l'angle.
  • Le côté adjacent est le côté qui touche l'angle, mais qui n'est pas l'hypoténuse.
  • L'hypoténuse est le côté le plus long, opposé à l'angle droit.

3

Écrire la formule de la tangente

Appliquez la formule : $\text{tan}(\text{angle}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$. Remplacez les noms des côtés par leurs longueurs connues.

4

Calculer la valeur de la tangente

Effectuez la division pour obtenir la valeur numérique de la tangente.

5

Utiliser la fonction réciproque (arctan ou $\text{tan}^{-1}$)

Pour trouver la mesure de l'angle, utilisez la fonction $\text{arctan}$ (ou $\text{tan}^{-1}$) de votre calculatrice.
$$\text{angle} = \text{arctan}(\text{valeur de la tangente})$$
Assurez-vous que votre calculatrice est en mode 'degrés' (DEG).

Exemple résolu

Soit un triangle rectangle $ABC$ en $B$. On donne $AB = 5$ cm et $BC = 8$ cm. Calculons la mesure de l'angle $\widehat{BCA}$ (arrondie au dixième de degré).

1
Le triangle $ABC$ est-il rectangle ?
✓ OuiL'énoncé précise que le triangle est rectangle en $B$.
2
Quel est le côté opposé à l'angle $\widehat{BCA}$ ?
$AB$ — Le côté $AB$ ne touche pas l'angle $\widehat{BCA}$.
3
Quel est le côté adjacent à l'angle $\widehat{BCA}$ ?
$BC$ — Le côté $BC$ touche l'angle $\widehat{BCA}$ et n'est pas l'hypoténuse.
4
Écrire la formule de la tangente pour $\widehat{BCA}$
$\text{tan}(\widehat{BCA}) = \frac{AB}{BC}$ — Formule de la tangente : $\frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$.
5
Calculer la valeur de $\text{tan}(\widehat{BCA})$
$\text{tan}(\widehat{BCA}) = \frac{5}{8} = 0,625$ — Remplacement des longueurs données : $AB=5$, $BC=8$.
6
Calculer l'angle $\widehat{BCA}$
$\widehat{BCA} \approx 32,0°$ — $\widehat{BCA} = \text{arctan}(0,625) \approx 32,0053...°$. Arrondi au dixième.

La mesure de l'angle $\widehat{BCA}$ est d'environ $32,0°$.

⚠️ Confondre les côtés ou utiliser le mauvais rapport

  1. Le piège le plus courant est de confondre le côté opposé et le côté adjacent, ou d'utiliser l'hypoténuse par erreur (ce qui est pertinent pour le sinus ou le cosinus, mais pas la tangente).
  2. Astuce : Pour l'angle $\widehat{A}$, le côté opposé est 'en face' de $\widehat{A}$. Le côté adjacent est celui qui 'touche' $\widehat{A}$ mais qui n'est pas l'hypoténuse. L'hypoténuse est toujours en face de l'angle droit.

Pack Brevet Maths

Reçois 3 fiches gratuites pour préparer le Brevet

Les 3 fiches les plus importantes du programme de 3ème, en PDF prêt à imprimer. Offertes par Adil.

Pas de spam. Désinscription en un clic.

Exercice type Brevet

Dans un triangle rectangle $DEF$ rectangle en $E$, on sait que $DE = 7$ cm et $EF = 10$ cm.
1. Quel est le côté opposé à l'angle $\widehat{DFE}$ ?
2. Quel est le côté adjacent à l'angle $\widehat{DFE}$ ?
3. Écrire la relation trigonométrique permettant de calculer l'angle $\widehat{DFE}$.
4. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{DFE}$ (arrondir au dixième de degré).
1. Le côté opposé à l'angle $\widehat{DFE}$ est $DE$.
2. Le côté adjacent à l'angle $\widehat{DFE}$ est $EF$.
3. La relation trigonométrique est : $\text{tan}(\widehat{DFE}) = \frac{DE}{EF}$.
4. On a $\text{tan}(\widehat{DFE}) = \frac{7}{10} = 0,7$.
Donc $\widehat{DFE} = \text{arctan}(0,7) \approx 34,992...°$.
Arrondi au dixième, $\widehat{DFE} \approx 35,0°$.

Questions fréquentes

Quand utiliser la tangente plutôt que le sinus ou le cosinus ?
La tangente est utilisée lorsque vous connaissez les longueurs du côté opposé et du côté adjacent à l'angle que vous cherchez, et que l'hypoténuse n'est pas connue ou n'est pas utile. Le sinus utilise l'opposé et l'hypoténuse, le cosinus utilise l'adjacent et l'hypoténuse.
Comment savoir si ma calculatrice est en mode 'degrés' ?
La plupart des calculatrices affichent 'DEG' ou 'D' à l'écran lorsque vous êtes en mode degrés. Si vous voyez 'RAD' ou 'G', vous êtes en radians ou en grades, et vous devrez changer le mode. Consultez le manuel de votre calculatrice si vous ne savez pas comment faire.
Est-ce que la tangente peut être négative ?
Pour les angles aigus (entre $0°$ et $90°$) dans un triangle rectangle, la tangente est toujours positive car les longueurs des côtés sont toujours positives.
Peut-on calculer la tangente d'un angle droit ?
Non, la tangente d'un angle droit n'est pas définie. La formule impliquerait une division par zéro si le côté adjacent était nul, ce qui n'est pas possible dans un triangle rectangle.

Pour aller plus loin

Votre enfant bloque sur ce chapitre ?

Adil explique la méthode en 1 séance. Cours en ligne disponibles partout en France à 20€/h.

📞 Être rappelé gratuitement Avance Immédiate →