Définition
En trigonométrie, dans un triangle rectangle, les rapports trigonométriques (sinus, cosinus, tangente) permettent de relier les mesures des angles aigus aux longueurs des côtés.
Soit un triangle ABC rectangle en B, et $\alpha$ un angle aigu :
- Le cosinus de $\alpha$ est le rapport entre la longueur du côté adjacent à $\alpha$ et la longueur de l'hypoténuse.
- Le sinus de $\alpha$ est le rapport entre la longueur du côté opposé à $\alpha$ et la longueur de l'hypoténuse.
- La tangente de $\alpha$ est le rapport entre la longueur du côté opposé à $\alpha$ et la longueur du côté adjacent à $\alpha$.
La célèbre formule mnémotechnique SOH CAH TOA aide à retenir ces définitions :
- SOH : $\text{Sinus} = \frac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}}$
- CAH : $\text{Cosinus} = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}}$
- TOA : $\text{Tangente} = \frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}$
Méthode — Choisir le bon rapport trigonométrique
1. Identifier le triangle rectangle et l'angle de référence
Assurez-vous que le triangle est bien rectangle. Identifiez l'angle aigu dont vous connaissez la mesure ou que vous cherchez à calculer. C'est votre angle de référence.
2. Nommer les côtés par rapport à l'angle de référence
Par rapport à l'angle de référence choisi :
- Le côté opposé est celui qui ne touche pas l'angle.
- Le côté adjacent est celui qui touche l'angle mais n'est pas l'hypoténuse.
- L'hypoténuse est le côté le plus long, opposé à l'angle droit.
3. Déterminer les informations connues et inconnues
Listez les longueurs de côtés que vous connaissez et celles que vous cherchez à calculer. De même pour les angles.
4. Choisir le bon rapport trigonométrique
Utilisez la formule mnémotechnique SOH CAH TOA pour choisir le rapport qui met en relation les côtés connus et le côté (ou l'angle) inconnu :
- Si vous avez l'opposé et l'hypoténuse (ou les cherchez) : utilisez le sinus.
- Si vous avez l'adjacent et l'hypoténuse (ou les cherchez) : utilisez le cosinus.
- Si vous avez l'opposé et l'adjacent (ou les cherchez) : utilisez la tangente.
5. Appliquer la formule et résoudre
Écrivez l'équation en utilisant le rapport choisi, puis résolvez-la pour trouver la valeur manquante (longueur de côté ou mesure d'angle). N'oubliez pas d'utiliser les fonctions inverses ($\text{arcsin}$, $\text{arccos}$, $\text{arctan}$ ou $\text{sin}^{-1}$, $\text{cos}^{-1}$, $\text{tan}^{-1}$) pour trouver un angle.
Exemple résolu
Soit un triangle ABC rectangle en B. On connaît l'angle $\widehat{BAC} = 30°$ et la longueur du côté AB = 5 cm. On veut calculer la longueur du côté BC.
En utilisant la tangente : $\tan(\widehat{BAC}) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}} = \frac{BC}{AB}$.
On a donc $\tan(30°) = \frac{BC}{5}$.
Pour trouver BC, on calcule $BC = 5 × \tan(30°)$.
À l'aide d'une calculatrice, $BC \approx 5 × 0,577 \approx 2,89$ cm (arrondi au centième).
⚠️ Confondre les côtés (opposé, adjacent, hypothénuse)
- C'est l'erreur la plus fréquente.
- L'identification des côtés dépend toujours de l'angle aigu de référence que vous avez choisi.
- L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit.
- Le côté opposé est en face de l'angle de référence.
- Le côté adjacent touche l'angle de référence mais n'est pas l'hypoténuse.
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Exercice type Brevet
Dans un triangle DEF rectangle en E :1. Si $\widehat{DFE} = 45°$ et EF = 6 cm, quel rapport utiliseriez-vous pour calculer DE ?
2. Si DE = 8 cm et DF = 10 cm, quel rapport utiliseriez-vous pour calculer $\widehat{DFE}$ ?
3. Si $\widehat{EDF} = 60°$ et DF = 12 cm, quel rapport utiliseriez-vous pour calculer EF ?
- Angle de référence : $\widehat{DFE}$.
- Côté connu : EF (adjacent à $\widehat{DFE}$).
- Côté recherché : DE (opposé à $\widehat{DFE}$).
- Le rapport qui relie l'opposé et l'adjacent est la tangente.
2. Pour calculer $\widehat{DFE}$ avec DE = 8 cm et DF = 10 cm :
- Angle de référence : $\widehat{DFE}$.
- Côté connu : DE (opposé à $\widehat{DFE}$).
- Côté connu : DF (hypoténuse).
- Le rapport qui relie l'opposé et l'hypoténuse est le sinus.
3. Pour calculer EF avec $\widehat{EDF} = 60°$ et DF = 12 cm :
- Angle de référence : $\widehat{EDF}$.
- Côté connu : DF (hypoténuse).
- Côté recherché : EF (opposé à $\widehat{EDF}$).
- Le rapport qui relie l'opposé et l'hypoténuse est le sinus.
Questions fréquentes
Quand utiliser les fonctions inverses (arcsin, arccos, arctan) ?
Peut-on utiliser la trigonométrie dans un triangle non rectangle ?
Comment savoir si ma calculatrice est en mode degrés ou radians ?
Y a-t-il un moyen de vérifier mes résultats ?
Pour aller plus loin
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