Décomposer un nombre en facteurs premiers – Fiche Brevet Maths

Définition

La décomposition en facteurs premiers d'un nombre entier consiste à l'écrire comme un produit de nombres premiers. Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts : $1$ et lui-même. Les premiers nombres premiers sont $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...$.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier la divisibilité par $2$, puis $3$, puis $5$, etc., en répétant chaque facteur autant de fois que possible avant de passer au suivant.

Méthode — Décomposer un nombre en facteurs premiers

Étape 1 : Commencer par le plus petit nombre premier

On essaie de diviser le nombre donné par le plus petit nombre premier, qui est $2$. Si la division est exacte (le reste est $0$), on note $2$ comme facteur et on continue avec le quotient obtenu.

Étape 2 : Répéter l'opération

On continue à diviser le quotient par $2$ tant que c'est possible. Une fois que le quotient n'est plus divisible par $2$, on passe au nombre premier suivant, qui est $3$.

Étape 3 : Procéder avec les nombres premiers suivants

On répète le processus avec $3$, puis $5$, puis $7$, et ainsi de suite, en utilisant les nombres premiers dans l'ordre croissant. On s'arrête lorsque le quotient obtenu est $1$.

Étape 4 : Écrire la décomposition

Le nombre initial est alors égal au produit de tous les facteurs premiers que l'on a trouvés. On peut regrouper les facteurs identiques à l'aide d'exposants.

Exemple résolu

Décomposons le nombre $120$ en facteurs premiers.

$120 \div 2$

$120 = 2 × 60$

$60 \div 2$

$60 = 2 × 30$

$30 \div 2$

$30 = 2 × 15$

$15 \div 2$

✗ Non$15$ n'est pas un multiple de $2$

$15 \div 3$

$15 = 3 × 5$

$5 \div 3$

✗ Non$5$ n'est pas un multiple de $3$

$5 \div 5$

$5 = 5 × 1$

La décomposition de $120$ en facteurs premiers est donc $2 × 2 × 2 × 3 × 5$, ce qui s'écrit aussi $2^3 × 3 × 5$.

⚠️ Oublier l'ordre des nombres premiers

Il est crucial de toujours commencer par le plus petit nombre premier ($2$) et de progresser dans l'ordre croissant ($3, 5, 7, ...$).
Si vous sautez un nombre premier ou que vous ne l'utilisez pas autant de fois que possible, votre décomposition sera incorrecte.
Par exemple, si vous décomposez $12$ en $2 × 6$, puis $6$ en $2 × 3$, c'est correct.
Mais si vous commencez par $3$, vous pourriez écrire $12 = 3 × 4$, puis $4 = 2 × 2$.
Le résultat final est le même ($2^2 × 3$), mais la méthode systématique est plus sûre pour éviter les erreurs, surtout avec des nombres plus grands.

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Exercice type Brevet

Décomposez les nombres suivants en facteurs premiers :
1. $72$
2. $105$
3. $252$

1. Décomposition de $72$ :
$72 \div 2 = 36$
$36 \div 2 = 18$
$18 \div 2 = 9$
$9 \div 3 = 3$
$3 \div 3 = 1$
Donc, $72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2^3 × 3^2$

2. Décomposition de $105$ :
$105 \div 2$ (non)
$105 \div 3 = 35$
$35 \div 3$ (non)
$35 \div 5 = 7$
$7 \div 7 = 1$
Donc, $105 = 3 × 5 × 7$

3. Décomposition de $252$ :
$252 \div 2 = 126$
$126 \div 2 = 63$
$63 \div 2$ (non)
$63 \div 3 = 21$
$21 \div 3 = 7$
$7 \div 7 = 1$
Donc, $252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 = 2^2 × 3^2 × 7$

Questions fréquentes

Pourquoi doit-on utiliser uniquement des nombres premiers ?

La définition même de la décomposition en facteurs premiers exige que les facteurs soient des nombres premiers. Si nous utilisions des nombres non premiers (composés), la décomposition ne serait pas "première" et ne serait pas unique. Par exemple, $12 = 4 × 3$, mais $4$ n'est pas premier, donc ce n'est pas une décomposition en facteurs premiers.

Comment savoir si un nombre est premier ?

Pour savoir si un nombre $N$ est premier, on essaie de le diviser par tous les nombres premiers jusqu'à $\sqrt{N}$. Si aucune de ces divisions n'est exacte, alors $N$ est premier. Par exemple, pour $29$, $\sqrt{29} \approx 5,38$. On teste $2, 3, 5$. $29$ n'est divisible par aucun d'eux, donc $29$ est premier.

Est-ce que l'ordre des facteurs a de l'importance ?

Non, l'ordre des facteurs n'a pas d'importance car la multiplication est commutative. Cependant, par convention et pour faciliter la comparaison, on écrit généralement les facteurs premiers dans l'ordre croissant, et on regroupe les facteurs identiques avec des exposants (par exemple, $2^3 × 3 × 5$). Le théorème fondamental de l'arithmétique garantit que cette décomposition est unique, à l'ordre des facteurs près.

À quoi sert la décomposition en facteurs premiers ?

La décomposition en facteurs premiers est très utile pour simplifier des fractions, trouver le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) et le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) de plusieurs nombres, ou encore pour résoudre certains problèmes en arithmétique. C'est un outil fondamental en théorie des nombres.

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