Nombres et Calculs · Fiche N°2 / 104

Les critères de divisibilité

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

📚 Niveau 3ème ⏱ Lecture : 4 min ✅ Tombe au Brevet

Définition

Les critères de divisibilité sont des règles qui permettent de savoir rapidement si un nombre entier est divisible par un autre nombre entier sans effectuer la division. Un nombre $a$ est divisible par un nombre $b$ (non nul) si le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est $0$. On dit alors que $b$ est un diviseur de $a$, ou que $a$ est un multiple de $b$.

💡 Bon réflexe : Avant de diviser, vérifie si les critères de divisibilité peuvent t'aider à simplifier ou à trouver des facteurs !

Méthode — Les critères de divisibilité

1

Divisibilité par $2$

Un nombre est divisible par $2$ si son chiffre des unités est pair ($0, 2, 4, 6, 8$).
Exemple : $124$ est divisible par $2$ car son chiffre des unités est $4$ (pair).

2

Divisibilité par $3$

Un nombre est divisible par $3$ si la somme de ses chiffres est un multiple de $3$.
Exemple : $345$ est divisible par $3$ car $3+4+5 = 12$, et $12$ est un multiple de $3$ ($12 = 3 × 4$).

3

Divisibilité par $4$

Un nombre est divisible par $4$ si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de $4$.
Exemple : $716$ est divisible par $4$ car $16$ est un multiple de $4$ ($16 = 4 × 4$). $130$ n'est pas divisible par $4$ car $30$ n'est pas un multiple de $4$.

4

Divisibilité par $5$

Un nombre est divisible par $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$.
Exemple : $230$ est divisible par $5$ car son chiffre des unités est $0$. $455$ est divisible par $5$ car son chiffre des unités est $5$.

5

Divisibilité par $9$

Un nombre est divisible par $9$ si la somme de ses chiffres est un multiple de $9$.
Exemple : $189$ est divisible par $9$ car $1+8+9 = 18$, et $18$ est un multiple de $9$ ($18 = 9 × 2$). $234$ est divisible par $9$ car $2+3+4=9$, et $9$ est un multiple de $9$.

6

Divisibilité par $10$

Un nombre est divisible par $10$ si son chiffre des unités est $0$.
Exemple : $560$ est divisible par $10$ car son chiffre des unités est $0$.

Exemple résolu

Vérifions la divisibilité du nombre $1260$ par différents nombres en utilisant les critères de divisibilité.

1
Divisible par $2$ ?
✓ OuiLe chiffre des unités est $0$, qui est pair.
2
Divisible par $3$ ?
✓ OuiLa somme des chiffres est $1+2+6+0 = 9$. $9$ est un multiple de $3$ ($9 = 3 × 3$).
3
Divisible par $4$ ?
✓ OuiLe nombre formé par les deux derniers chiffres est $60$. $60$ est un multiple de $4$ ($60 = 4 × 15$).
4
Divisible par $5$ ?
✓ OuiLe chiffre des unités est $0$.
5
Divisible par $9$ ?
✓ OuiLa somme des chiffres est $1+2+6+0 = 9$. $9$ est un multiple de $9$ ($9 = 9 × 1$).
6
Divisible par $10$ ?
✓ OuiLe chiffre des unités est $0$.

Le nombre $1260$ est donc divisible par $2, 3, 4, 5, 9$ et $10$.

⚠️ Confondre les critères de $3$ et $9$

  1. Ne pas confondre les critères de divisibilité par $3$ et par $9$. Si un nombre est divisible par $9$, il est forcément divisible par $3$ (car $9$ est un multiple de $3$). Mais l'inverse n'est pas vrai ! Un nombre peut être divisible par $3$ sans être divisible par $9$.
  2. Exemple : $12$ est divisible par $3$ ($1+2=3$), mais n'est pas divisible par $9$ (car $3$ n'est pas un multiple de $9$).

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Exercice type Brevet

Déterminez si les nombres suivants sont divisibles par $2, 3, 4, 5, 9$ ou $10$. Justifiez votre réponse pour chaque cas.
  1. $450$
  2. $732$
  3. $108$
  4. $235$
  1. $450$
    • Divisible par $2$ : Oui, car le chiffre des unités est $0$ (pair).
    • Divisible par $3$ : Oui, car $4+5+0 = 9$, et $9$ est un multiple de $3$.
    • Divisible par $4$ : Non, car $50$ n'est pas un multiple de $4$ ($50 = 4 × 12 + 2$).
    • Divisible par $5$ : Oui, car le chiffre des unités est $0$.
    • Divisible par $9$ : Oui, car $4+5+0 = 9$, et $9$ est un multiple de $9$.
    • Divisible par $10$ : Oui, car le chiffre des unités est $0$.
  2. $732$
    • Divisible par $2$ : Oui, car le chiffre des unités est $2$ (pair).
    • Divisible par $3$ : Oui, car $7+3+2 = 12$, et $12$ est un multiple de $3$.
    • Divisible par $4$ : Oui, car $32$ est un multiple de $4$ ($32 = 4 × 8$).
    • Divisible par $5$ : Non, car le chiffre des unités est $2$ (ni $0$ ni $5$).
    • Divisible par $9$ : Non, car $7+3+2 = 12$, et $12$ n'est pas un multiple de $9$.
    • Divisible par $10$ : Non, car le chiffre des unités est $2$ (pas $0$).
  3. $108$
    • Divisible par $2$ : Oui, car le chiffre des unités est $8$ (pair).
    • Divisible par $3$ : Oui, car $1+0+8 = 9$, et $9$ est un multiple de $3$.
    • Divisible par $4$ : Oui, car $08$ (soit $8$) est un multiple de $4$ ($8 = 4 × 2$).
    • Divisible par $5$ : Non, car le chiffre des unités est $8$.
    • Divisible par $9$ : Oui, car $1+0+8 = 9$, et $9$ est un multiple de $9$.
    • Divisible par $10$ : Non, car le chiffre des unités est $8$.
  4. $235$
    • Divisible par $2$ : Non, car le chiffre des unités est $5$ (impair).
    • Divisible par $3$ : Non, car $2+3+5 = 10$, et $10$ n'est pas un multiple de $3$.
    • Divisible par $4$ : Non, car $35$ n'est pas un multiple de $4$ ($35 = 4 × 8 + 3$).
    • Divisible par $5$ : Oui, car le chiffre des unités est $5$.
    • Divisible par $9$ : Non, car $2+3+5 = 10$, et $10$ n'est pas un multiple de $9$.
    • Divisible par $10$ : Non, car le chiffre des unités est $5$.

Questions fréquentes

Pourquoi les critères de divisibilité sont-ils utiles ?
Ils sont utiles pour simplifier des fractions, trouver des diviseurs communs, décomposer des nombres en facteurs premiers, et vérifier des calculs rapidement sans avoir à effectuer des divisions complexes.
Existe-t-il des critères de divisibilité pour d'autres nombres ?
Oui, il existe des critères pour d'autres nombres comme $6$ (divisible par $2$ ET par $3$), $8$ (le nombre formé par les trois derniers chiffres est un multiple de $8$), $11$ (la différence entre la somme des chiffres de rang impair et la somme des chiffres de rang pair est un multiple de $11$), etc. Ceux présentés ici sont les plus courants et les plus importants au collège.
Si un nombre est divisible par $2$ et par $3$, est-il divisible par $6$ ?
Oui, si un nombre est divisible par $2$ ET par $3$, alors il est divisible par $2 × 3 = 6$. C'est une règle générale : si un nombre est divisible par deux nombres premiers entre eux, alors il est divisible par leur produit.
Le nombre $0$ est-il divisible par n'importe quel nombre ?
Oui, $0$ est divisible par tout nombre entier non nul. En effet, pour tout entier $n eq 0$, $0 = n × 0$, donc le reste de la division de $0$ par $n$ est $0$.

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