Nombres et Calculs · Fiche N°25 / 104

Résoudre une équation ax+b=cx+d

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

📚 Niveau 3ème ⏱ Lecture : 4 min ✅ Tombe au Brevet

Définition

Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité qui contient une ou plusieurs fois une lettre (l'inconnue, souvent notée $x$) et dont le but est de trouver la valeur de cette lettre pour que l'égalité soit vraie. Une équation de la forme $ax+b=cx+d$ est une équation du premier degré, où $a$, $b$, $c$, et $d$ sont des nombres connus et $x$ est l'inconnue.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier sa solution en la remplaçant dans l'équation de départ !

Méthode — Résoudre une équation ax+b=cx+d

1

Regrouper les termes en $x$

L'objectif est d'isoler l'inconnue $x$. Pour cela, on va regrouper tous les termes contenant $x$ d'un côté de l'égalité (généralement à gauche) et tous les termes constants de l'autre côté (généralement à droite). Pour déplacer un terme d'un côté à l'autre de l'égalité, on effectue l'opération inverse. Si un terme est ajouté, on le soustrait des deux côtés ; s'il est soustrait, on l'ajoute des deux côtés.
Exemple : Pour $ax+b=cx+d$, on soustrait $cx$ des deux côtés : $ax - cx + b = d$.

2

Regrouper les termes constants

Une fois les termes en $x$ regroupés, on déplace les termes constants de l'autre côté de l'égalité.
Exemple : Dans $ax - cx + b = d$, on soustrait $b$ des deux côtés : $ax - cx = d - b$.

3

Factoriser l'inconnue $x$

Quand tous les termes en $x$ sont d'un côté et tous les termes constants de l'autre, on factorise $x$ dans le membre où il se trouve.
Exemple : Dans $ax - cx = d - b$, on factorise $x$: $x(a - c) = d - b$.

4

Isoler l'inconnue $x$

Pour trouver la valeur de $x$, on divise les deux côtés de l'égalité par le coefficient de $x$ (à condition que ce coefficient ne soit pas nul).
Exemple : Dans $x(a - c) = d - b$, on divise par $(a - c)$ : $x = \frac{d - b}{a - c}$ (si $a - c \neq 0$).
Si $a - c = 0$ (c'est-à-dire $a=c$), l'équation peut avoir une infinité de solutions (si $d-b=0$) ou aucune solution (si $d-b \neq 0$).

5

Vérifier la solution

Il est toujours recommandé de remplacer la valeur trouvée pour $x$ dans l'équation de départ pour s'assurer que l'égalité est bien vérifiée.
Exemple : Si vous trouvez $x=k$, remplacez $x$ par $k$ dans $ax+b=cx+d$ et vérifiez que $ak+b = ck+d$.

Exemple résolu

Résolvons l'équation suivante : $5x + 3 = 2x + 12$.

1
$5x + 3 = 2x + 12$
Équation de départ.
2
$5x - 2x + 3 = 12$
On soustrait $2x$ des deux côtés pour regrouper les termes en $x$ à gauche.
3
$3x + 3 = 12$
On simplifie les termes en $x$ : $5x - 2x = 3x$.
4
$3x = 12 - 3$
On soustrait $3$ des deux côtés pour regrouper les termes constants à droite.
5
$3x = 9$
On simplifie les termes constants : $12 - 3 = 9$.
6
$x = \frac{9}{3}$
On divise les deux côtés par $3$ pour isoler $x$.
7
$x = 3$
Solution de l'équation.
8
Vérification : $5 × (3) + 3 = 15 + 3 = 18$
$2 × (3) + 12 = 6 + 12 = 18$
Les deux côtés de l'égalité sont égaux à $18$, la solution est correcte.

La solution de l'équation $5x + 3 = 2x + 12$ est $x = 3$.

⚠️ Attention aux signes et à la division par zéro !

  1. Lorsque vous déplacez un terme d'un côté à l'autre de l'égalité, n'oubliez pas de changer son signe. Par exemple, si vous déplacez $+2x$ de droite à gauche, il devient $-2x$. De plus, soyez vigilant lors de la dernière étape : on ne peut pas diviser par zéro. Si, après avoir regroupé les termes en $x$, vous obtenez $0x = \text{nombre}$, alors :
  2. Si $\text{nombre} \neq 0$, l'équation n'a pas de solution.
  3. Si $\text{nombre} = 0$, l'équation a une infinité de solutions (tout nombre réel est solution).

Pack Brevet Maths

Reçois 3 fiches gratuites pour préparer le Brevet

Les 3 fiches les plus importantes du programme de 3ème, en PDF prêt à imprimer. Offertes par Adil.

Pas de spam. Désinscription en un clic.

Exercice type Brevet

Résolvez les équations suivantes :
  1. $7x - 5 = 3x + 11$
  2. $4 - 2x = 5x + 18$
  3. $6x + 2 = 6x - 7$

Correction de l'exercice :

  1. $7x - 5 = 3x + 11$
    $7x - 3x = 11 + 5$
    $4x = 16$
    $x = \frac{16}{4}$
    $x = 4$
    La solution est $x=4$.
  2. $4 - 2x = 5x + 18$
    $-2x - 5x = 18 - 4$
    $-7x = 14$
    $x = \frac{14}{-7}$
    $x = -2$
    La solution est $x=-2$.
  3. $6x + 2 = 6x - 7$
    $6x - 6x = -7 - 2$
    $0x = -9$
    Cette égalité est fausse ($0 \neq -9$). L'équation n'a pas de solution.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une équation du premier degré ?
C'est une équation où l'inconnue (souvent $x$) n'est élevée qu'à la puissance $1$ (elle n'apparaît pas sous la forme $x^2$, $x^3$, etc.) et n'est pas sous une racine carrée ou au dénominateur.
Pourquoi doit-on faire la même opération des deux côtés de l'égalité ?
Pour maintenir l'équilibre de l'égalité. Si vous ajoutez $5$ d'un côté, vous devez aussi l'ajouter de l'autre côté pour que l'égalité reste vraie. C'est comme une balance : si vous ajoutez un poids d'un côté, vous devez ajouter le même poids de l'autre pour qu'elle reste en équilibre.
Que se passe-t-il si le coefficient de $x$ est zéro ?
Si vous arrivez à une forme $0x = \text{nombre}$ :
  • Si $\text{nombre} = 0$ (par exemple $0x=0$), cela signifie que n'importe quelle valeur de $x$ rend l'égalité vraie. Il y a une infinité de solutions.
  • Si $\text{nombre} \neq 0$ (par exemple $0x=5$), cela signifie qu'il n'y a aucune valeur de $x$ qui puisse rendre l'égalité vraie. L'équation n'a pas de solution.
Est-ce que je peux regrouper les $x$ à droite et les constantes à gauche ?
Oui, absolument ! Le choix du côté n'affecte pas la solution finale. L'important est de regrouper tous les termes en $x$ d'un côté et tous les termes constants de l'autre. Par exemple, pour $5x + 3 = 2x + 12$, vous pourriez faire $3 - 12 = 2x - 5x$, ce qui donne $-9 = -3x$, puis $x = \frac{-9}{-3} = 3$.

Pour aller plus loin

Votre enfant bloque sur ce chapitre ?

Adil explique la méthode en 1 séance. Cours en ligne disponibles partout en France à 20€/h.

📞 Être rappelé gratuitement Avance Immédiate →