Les équations produit nul – Fiche Brevet Maths

Q: Pourquoi doit-on avoir $0$ d'un côté de l'égalité ?

La propriété essentielle est que 'si un produit est nul, alors l'un de ses facteurs est nul'. Cette propriété ne fonctionne que si le produit est égal à $0$. Si vous avez $A(x) × B(x) = 5$, vous ne pouvez pas dire que $A(x) = 5$ ou $B(x) = 5$. Par exemple, $1 × 5 = 5$ mais aussi $2 × 2.5 = 5$. Il y a une infinité de possibilités, ce qui rend la résolution directe impossible.

Définition

Une équation produit nul est une équation de la forme $A(x) × B(x) = 0$, où $A(x)$ et $B(x)$ sont des expressions littérales (contenant l'inconnue $x$).
Cette équation est basée sur la propriété fondamentale suivante :
$$\text{Si un produit de facteurs est nul, alors au moins un de ses facteurs est nul.}$$
Autrement dit, pour que $A(x) × B(x) = 0$, il faut que $A(x) = 0$ ou $B(x) = 0$.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier que l'équation est égale à $0$ avant d'appliquer la propriété du produit nul. Si ce n'est pas le cas, factoriser !

Méthode — Les équations produit nul

Étape 1 : S'assurer que l'équation est sous la forme $A(x) × B(x) = 0$

Si l'équation n'est pas sous cette forme, il faut la transformer en factorisant un côté de l'égalité et en s'assurant que l'autre côté est $0$.
Exemple : $x^2 - 4x = 0$ peut être factorisé en $x(x - 4) = 0$.

Étape 2 : Égaler chaque facteur à zéro

Une fois l'équation sous la forme $A(x) × B(x) = 0$, on pose deux équations distinctes : $A(x) = 0$ et $B(x) = 0$.

Étape 3 : Résoudre chaque équation séparément

Chacune des équations $A(x) = 0$ et $B(x) = 0$ est généralement une équation du premier degré, facile à résoudre.

Étape 4 : Écrire l'ensemble des solutions

Les solutions de l'équation produit nul sont toutes les solutions trouvées aux étapes précédentes. Il peut y en avoir une, deux ou plus, selon le nombre de facteurs et la nature des équations $A(x)=0$ et $B(x)=0$.

Exemple résolu

Résolvons l'équation produit nul suivante : $(2x - 3)(x + 5) = 0$.

L'équation est-elle sous la forme $A(x) × B(x) = 0$ ?

✓ OuiOn a $A(x) = 2x - 3$ et $B(x) = x + 5$.

Poser les équations des facteurs

N/A — On pose $2x - 3 = 0$ et $x + 5 = 0$.

Résoudre $2x - 3 = 0$

N/A — $2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$

Résoudre $x + 5 = 0$

N/A — $x = -5$

Écrire l'ensemble des solutions

N/A — Les solutions sont $x = \frac{3}{2}$ et $x = -5$. L'ensemble des solutions est $S = \left\{ -5; \frac{3}{2} \right\}$.

L'équation $(2x - 3)(x + 5) = 0$ possède deux solutions : $-5$ et $\frac{3}{2}$.

⚠️ Ne pas oublier de factoriser !

Essayer de résoudre une équation qui n'est pas sous la forme $A(x) × B(x) = 0$ directement. Par exemple, pour résoudre $x^2 - 5x = -6$, il ne faut pas dire que $x = -6$ ou $x - 5 = -6$. Il faut d'abord ramener l'équation à la forme $A(x) × B(x) = 0$ en déplaçant tous les termes d'un côté et en factorisant : $x^2 - 5x + 6 = 0$. Ici, il faudrait factoriser le trinôme, ce qui n'est pas toujours évident en 3ème. Souvent, les exercices du Brevet demandent de résoudre des équations où la factorisation est plus simple, par exemple avec un facteur commun ou une identité remarquable. Par exemple, pour $x^2 - 9 = 0$, on utilise l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ pour obtenir $(x-3)(x+3)=0$.

Pack Brevet Maths

Reçois 3 fiches gratuites pour préparer le Brevet

Les 3 fiches les plus importantes du programme de 3ème, en PDF prêt à imprimer. Offertes par Adil.

Pas de spam. Désinscription en un clic.

Exercice type Brevet

Résoudre les équations suivantes :

$(4x + 1)(x - 7) = 0$
$x(3x + 2) = 0$
$x^2 - 16 = 0$
$(5x - 1)^2 - (2x + 3)^2 = 0$

Correction de l'exercice

$(4x + 1)(x - 7) = 0$
C'est une équation produit nul. On a :
$4x + 1 = 0 \quad$ ou $\quad x - 7 = 0$
$4x = -1 \quad$ ou $\quad x = 7$
$x = -\frac{1}{4} \quad$ ou $\quad x = 7$
Les solutions sont $S = \left\{ -\frac{1}{4}; 7 \right\}$.
$x(3x + 2) = 0$
C'est une équation produit nul. On a :
$x = 0 \quad$ ou $\quad 3x + 2 = 0$
$x = 0 \quad$ ou $\quad 3x = -2$
$x = 0 \quad$ ou $\quad x = -\frac{2}{3}$
Les solutions sont $S = \left\{ -\frac{2}{3}; 0 \right\}$.
$x^2 - 16 = 0$
On reconnaît une identité remarquable $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ avec $a=x$ et $b=4$.
$(x - 4)(x + 4) = 0$
C'est une équation produit nul. On a :
$x - 4 = 0 \quad$ ou $\quad x + 4 = 0$
$x = 4 \quad$ ou $\quad x = -4$
Les solutions sont $S = \left\{ -4; 4 \right\}$.
$(5x - 1)^2 - (2x + 3)^2 = 0$
On reconnaît une identité remarquable $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ avec $a = (5x - 1)$ et $b = (2x + 3)$.
$[(5x - 1) - (2x + 3)][(5x - 1) + (2x + 3)] = 0$
Simplifions chaque facteur :
Premier facteur : $5x - 1 - 2x - 3 = 3x - 4$
Deuxième facteur : $5x - 1 + 2x + 3 = 7x + 2$
L'équation devient : $(3x - 4)(7x + 2) = 0$
C'est une équation produit nul. On a :
$3x - 4 = 0 \quad$ ou $\quad 7x + 2 = 0$
$3x = 4 \quad$ ou $\quad 7x = -2$
$x = \frac{4}{3} \quad$ ou $\quad x = -\frac{2}{7}$
Les solutions sont $S = \left\{ -\frac{2}{7}; \frac{4}{3} \right\}$.

Questions fréquentes

Pourquoi doit-on avoir $0$ d'un côté de l'égalité ?

La propriété essentielle est que 'si un produit est nul, alors l'un de ses facteurs est nul'. Cette propriété ne fonctionne que si le produit est égal à $0$. Si vous avez $A(x) × B(x) = 5$, vous ne pouvez pas dire que $A(x) = 5$ ou $B(x) = 5$. Par exemple, $1 × 5 = 5$ mais aussi $2 × 2.5 = 5$. Il y a une infinité de possibilités, ce qui rend la résolution directe impossible.

Est-ce que toutes les équations du second degré peuvent être résolues comme des équations produit nul ?

Non, pas directement. Les équations produit nul sont une méthode spécifique pour les équations qui peuvent être factorisées. Certaines équations du second degré ne peuvent pas être factorisées facilement ou n'ont pas de solutions réelles. En 3ème, si on vous demande de résoudre une équation du second degré, c'est généralement qu'elle peut être transformée en équation produit nul par factorisation (facteur commun, identité remarquable, etc.).

Peut-on avoir plus de deux facteurs ?

Oui, absolument ! La propriété s'étend à un nombre quelconque de facteurs. Si $A(x) × B(x) × C(x) = 0$, alors $A(x) = 0$ ou $B(x) = 0$ ou $C(x) = 0$. Le principe reste le même : chaque facteur doit être égal à zéro.

Comment savoir si je dois factoriser ou développer ?

Pour résoudre une équation, l'objectif est souvent de l'isoler sous la forme $x = \text{nombre}$. Si vous avez une équation du second degré (avec $x^2$), la factorisation est la méthode privilégiée pour la transformer en équation produit nul. Développer une expression comme $(x+1)(x-2)$ donnerait $x^2 - x - 2$, ce qui ne vous aiderait pas à résoudre l'équation $x^2 - x - 2 = 0$ sans factorisation préalable ou d'autres outils (comme le discriminant, vu au lycée).

Pour aller plus loin

Votre enfant bloque sur ce chapitre ?

Adil explique la méthode en 1 séance. Cours en ligne disponibles partout en France à 20€/h.

📞 Être rappelé gratuitement Avance Immédiate →