Factoriser par un facteur commun – Fiche Brevet Maths

Définition

La factorisation est l'opération inverse du développement. Factoriser une expression, c'est la transformer en un produit de facteurs. On utilise la propriété de distributivité : $k × a + k × b = k × (a + b)$ ou $k × a - k × b = k × (a - b)$. Le terme $k$ est appelé le facteur commun. Il peut être un nombre, une lettre, ou une expression entre parenthèses.

💡 Bon réflexe : Toujours chercher le plus grand facteur commun possible pour une factorisation complète.

Méthode — Factoriser par un facteur commun

Identifier le facteur commun

Repérer le terme (nombre, lettre, expression) qui apparaît dans tous les termes de l'expression. Ce facteur commun peut être évident ou caché (il faut alors décomposer les termes).

Mettre le facteur commun en évidence

Écrire le facteur commun devant une parenthèse. À l'intérieur de cette parenthèse, on écrit les termes restants après avoir 'enlevé' le facteur commun de chaque partie de l'expression initiale.

Vérifier par développement

Pour s'assurer que la factorisation est correcte, on peut redévelopper l'expression factorisée. On doit retrouver l'expression de départ.

Exemple résolu

Factorisons les expressions suivantes :

$3x + 6$

Le facteur commun est $3$. On a $3 × x + 3 × 2 = 3 × (x + 2)$.

$5x^2 - 10x$

Le facteur commun est $5x$. On a $5x × x - 5x × 2 = 5x × (x - 2)$.

$(x+1)(x+2) + 3(x+2)$

Le facteur commun est $(x+2)$. On a $(x+2) × (x+1) + (x+2) × 3 = (x+2) × ((x+1) + 3) = (x+2) × (x+4)$.

$4x + 7$

✗ NonIl n'y a pas de facteur commun évident autre que $1$.

La factorisation permet de simplifier des expressions et est essentielle pour résoudre des équations produits nuls.

⚠️ Oublier un terme ou un signe

Lorsqu'on factorise, il faut s'assurer que tous les termes de l'expression d'origine sont bien pris en compte et que les signes sont corrects.
Par exemple, factoriser $2x + 2$ en $2x$ est une erreur.
La bonne factorisation est $2(x+1)$.
De même, $3x - 3$ factorisé en $3(x)$ est faux, c'est $3(x-1)$.

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Exercice type Brevet

Factorisez les expressions suivantes :
1. $A = 7x + 14$
2. $B = 5y^2 - 20y$
3. $C = (x-3)(2x+1) + (x-3)(x-5)$
4. $D = 12a^3 - 18a^2 + 6a$

1. $A = 7x + 14 = 7 × x + 7 × 2 = 7(x+2)$
2. $B = 5y^2 - 20y = 5y × y - 5y × 4 = 5y(y-4)$
3. $C = (x-3)(2x+1) + (x-3)(x-5)$
$C = (x-3) × ((2x+1) + (x-5))$
$C = (x-3) × (2x+1+x-5)$
$C = (x-3) × (3x-4)$
4. $D = 12a^3 - 18a^2 + 6a$
Le facteur commun est $6a$.
$D = 6a × 2a^2 - 6a × 3a + 6a × 1$
$D = 6a(2a^2 - 3a + 1)$

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un facteur commun 'caché' ?

Un facteur commun est dit 'caché' quand il n'est pas directement visible. Il faut alors décomposer les nombres ou les expressions. Par exemple, dans $4x + 6$, le facteur commun $2$ n'est pas écrit explicitement, mais $4 = 2 × 2$ et $6 = 2 × 3$. Donc $4x + 6 = 2(2x + 3)$.

Peut-on avoir plusieurs facteurs communs ?

Oui, on peut avoir plusieurs facteurs communs qui se combinent. Par exemple, dans $6x^2 + 9x$, le facteur commun est $3x$ (car $6 = 3 × 2$ et $9 = 3 × 3$, et $x^2 = x × x$). Donc $6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)$.

Comment savoir si j'ai bien factorisé au maximum ?

Une fois que vous avez factorisé, vérifiez si les termes à l'intérieur de la parenthèse ont encore un facteur commun. Si ce n'est pas le cas (à part $1$), alors vous avez factorisé au maximum.

La factorisation est-elle toujours possible ?

Non, toutes les expressions ne sont pas factorisables par un facteur commun. Par exemple, $x^2 + 5x + 7$ n'a pas de facteur commun évident. D'autres techniques de factorisation existent (identités remarquables) mais ne s'appliquent pas toujours non plus.

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