L'identité remarquable (a+b)² – Fiche Brevet Maths

Définition

L'identité remarquable $(a+b)^2$ est une formule de développement qui permet de calculer rapidement le carré d'une somme de deux termes. Elle s'énonce ainsi : $$\left(a+b\right)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ où $a$ et $b$ peuvent être des nombres, des variables ou des expressions algébriques.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier le double produit $2ab$ pour ne pas l'oublier !

Méthode — L'identité remarquable (a+b)²

Identifier $a$ et $b$

Dans l'expression à développer, identifiez clairement ce qui joue le rôle de $a$ et ce qui joue le rôle de $b$. Par exemple, dans $(x+3)^2$, $a=x$ et $b=3$.

Appliquer la formule

Une fois $a$ et $b$ identifiés, substituez-les dans la formule $a^2 + 2ab + b^2$. Cela donne :

Le carré du premier terme : $a^2$
Le double produit des deux termes : $2ab$
Le carré du second terme : $b^2$

Simplifier l'expression

Effectuez les calculs nécessaires pour simplifier l'expression obtenue. Calculez les carrés, les produits et regroupez les termes si possible.

Exemple résolu

Développons l'expression $(2x+5)^2$ en utilisant l'identité remarquable.

Identification de $a$ et $b$

Ici, $a = 2x$ et $b = 5$.

Application de la formule $a^2 + 2ab + b^2$

$a^2 = (2x)^2$, $2ab = 2 × (2x) × 5$, $b^2 = 5^2$.

Calcul des termes

$(2x)^2 = 4x^2$, $2 × (2x) × 5 = 20x$, $5^2 = 25$.

Expression finale

En combinant les termes, on obtient $4x^2 + 20x + 25$.

Ainsi, $(2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25$.

⚠️ Oublier le double produit

Oublier le terme $2ab$.
On est souvent tenté d'écrire $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
C'est faux ! Par exemple, $(x+3)^2 \neq x^2 + 3^2$.
En effet, $(x+3)^2 = x^2 + 2 × x × 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$.
Le terme $6x$ est souvent oublié.

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Exercice type Brevet

Développez les expressions suivantes en utilisant l'identité remarquable $(a+b)^2$ :

$(x+7)^2$
$(3y+4)^2$
$(5+2z)^2$
$(x^2+1)^2$

Voici les développements :

$(x+7)^2 = x^2 + 2 × x × 7 + 7^2 = x^2 + 14x + 49$
$(3y+4)^2 = (3y)^2 + 2 × (3y) × 4 + 4^2 = 9y^2 + 24y + 16$
$(5+2z)^2 = 5^2 + 2 × 5 × (2z) + (2z)^2 = 25 + 20z + 4z^2$
$(x^2+1)^2 = (x^2)^2 + 2 × x^2 × 1 + 1^2 = x^4 + 2x^2 + 1$

Questions fréquentes

Pourquoi $(a+b)^2$ n'est pas égal à $a^2+b^2$ ?

Parce que $(a+b)^2$ signifie $(a+b) × (a+b)$. Si on développe cette expression, on obtient $a × a + a × b + b × a + b × b = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Le terme $2ab$ est le double produit et il est essentiel.

Est-ce que cette identité est utile pour la factorisation ?

Oui, absolument ! L'identité remarquable peut être utilisée dans l'autre sens pour factoriser une expression de la forme $a^2 + 2ab + b^2$ en $(a+b)^2$. C'est une compétence clé pour la résolution d'équations et la simplification d'expressions.

Comment reconnaître quand utiliser cette identité ?

Vous devez l'utiliser lorsque vous voyez le carré d'une somme de deux termes, par exemple $(expression_1 + expression_2)^2$. Le signe entre les deux termes doit être un plus.

Y a-t-il d'autres identités remarquables ?

Oui, il y en a deux autres très importantes : $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ et $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Il est crucial de les connaître toutes les trois.

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