Factoriser avec une identité remarquable – Fiche Brevet Maths

Définition

Factoriser une expression, c'est la transformer en un produit de facteurs. Utiliser une identité remarquable permet de factoriser rapidement certaines expressions qui ont une forme particulière. Les trois identités remarquables à connaître sont :

1. Le carré d'une somme : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
2. Le carré d'une différence : $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
3. La différence de deux carrés : $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

Pour factoriser, on cherche à identifier si l'expression donnée correspond à la partie développée d'une de ces identités.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier le signe du terme du milieu et s'assurer que les termes sont bien des carrés parfaits.

Méthode — Factoriser avec une identité remarquable

Étape 1 : Observer l'expression et compter les termes

Regardez le nombre de termes dans l'expression.

Si l'expression a deux termes et qu'il s'agit d'une soustraction, elle pourrait être de la forme $a^2 - b^2$.
Si l'expression a trois termes, elle pourrait être de la forme $a^2 + 2ab + b^2$ ou $a^2 - 2ab + b^2$.

Étape 2 : Identifier les 'carrés'

Pour les expressions à trois termes ($a^2 + 2ab + b^2$ ou $a^2 - 2ab + b^2$), cherchez deux termes qui sont des carrés parfaits. Par exemple, $x^2$, $9$ (qui est $3^2$), $4y^2$ (qui est $(2y)^2$), $25x^2$ (qui est $(5x)^2$).
Pour les expressions à deux termes ($a^2 - b^2$), identifiez les deux termes qui sont des carrés parfaits.

Étape 3 : Vérifier le terme du milieu (pour les trois termes) ou le signe (pour les deux termes)

Si l'expression a trois termes : Une fois $a^2$ et $b^2$ identifiés, vérifiez si le troisième terme correspond à $2ab$ (avec le bon signe). Si c'est le cas, vous avez trouvé l'identité.
Si l'expression a deux termes : Assurez-vous que c'est une soustraction entre les deux carrés. Si c'est une addition ($a^2 + b^2$), elle n'est pas factorisable avec les identités remarquables réelles.

Étape 4 : Appliquer la formule de factorisation

Une fois l'identité remarquable identifiée :

Si c'est $a^2 + 2ab + b^2$, factorisez en $(a+b)^2$.
Si c'est $a^2 - 2ab + b^2$, factorisez en $(a-b)^2$.
Si c'est $a^2 - b^2$, factorisez en $(a-b)(a+b)$.

Exemple résolu

Voyons quelques exemples pour illustrer l'application de cette méthode.

$x^2 + 6x + 9$

C'est de la forme $a^2 + 2ab + b^2$. On a $a=x$ et $b=3$. Le terme du milieu est $2 × x × 3 = 6x$. Donc, l'expression se factorise en $(x+3)^2$.

$4y^2 - 20y + 25$

C'est de la forme $a^2 - 2ab + b^2$. On a $a=2y$ et $b=5$. Le terme du milieu est $-2 × (2y) × 5 = -20y$. Donc, l'expression se factorise en $(2y-5)^2$.

$16 - 49z^2$

C'est de la forme $a^2 - b^2$. On a $a=4$ et $b=7z$. Donc, l'expression se factorise en $(4-7z)(4+7z)$.

$x^2 + 5x + 4$

✗ NonBien qu'il y ait trois termes, $4$ est $2^2$, mais $5x$ n'est pas $2 × x × 2 = 4x$. Ce n'est pas une identité remarquable.

$x^2 + 9$

✗ NonC'est une somme de deux carrés, pas une différence de deux carrés. Elle n'est pas factorisable avec les identités remarquables réelles.

En suivant ces étapes, vous pouvez identifier et factoriser efficacement les expressions qui correspondent à une identité remarquable.

⚠️ Attention aux signes et aux termes intermédiaires !

Le piège le plus courant est de ne pas vérifier le terme du milieu pour les identités $(a+b)^2$ et $(a-b)^2$.
Par exemple, $x^2 + 10x + 16$ n'est PAS $(x+4)^2$ car $2 × x × 4 = 8x$, et non $10x$.
De même, $a^2 + b^2$ n'est PAS factorisable en $(a+b)^2$ ou $(a-b)^2$.
Il faut impérativement une différence pour $a^2 - b^2$.

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Exercice type Brevet

Factoriser les expressions suivantes en utilisant une identité remarquable :

1. $A = 25x^2 + 30x + 9$
2. $B = 49 - 100y^2$
3. $C = 36a^2 - 84a + 49$
4. $D = (2x+1)^2 - 9$

1. $A = 25x^2 + 30x + 9$
On reconnaît la forme $a^2 + 2ab + b^2$.
$a^2 = 25x^2 \implies a = 5x$
$b^2 = 9 \implies b = 3$
Vérifions le terme du milieu : $2ab = 2 × (5x) × 3 = 30x$. Cela correspond.
Donc, $A = (5x+3)^2$

2. $B = 49 - 100y^2$
On reconnaît la forme $a^2 - b^2$.
$a^2 = 49 \implies a = 7$
$b^2 = 100y^2 \implies b = 10y$
Donc, $B = (7 - 10y)(7 + 10y)$

3. $C = 36a^2 - 84a + 49$
On reconnaît la forme $a^2 - 2ab + b^2$.
$a^2 = 36a^2 \implies a = 6a$
$b^2 = 49 \implies b = 7$
Vérifions le terme du milieu : $-2ab = -2 × (6a) × 7 = -84a$. Cela correspond.
Donc, $C = (6a-7)^2$

4. $D = (2x+1)^2 - 9$
On reconnaît la forme $A^2 - B^2$ où $A = (2x+1)$ et $B = 3$ (car $9 = 3^2$).
$D = ((2x+1) - 3)((2x+1) + 3)$
$D = (2x + 1 - 3)(2x + 1 + 3)$
$D = (2x - 2)(2x + 4)$
On peut encore factoriser chaque parenthèse par un facteur commun :
$D = 2(x - 1) × 2(x + 2)$
$D = 4(x - 1)(x + 2)

Questions fréquentes

Pourquoi est-il important de factoriser ?

Factoriser permet de simplifier des expressions, de résoudre des équations (en utilisant la propriété du produit nul), de réduire des fractions algébriques et d'étudier le signe d'une expression.

Que faire si l'expression ne ressemble pas à une identité remarquable ?

Si l'expression n'est pas une identité remarquable, cherchez d'abord un facteur commun. Si cela ne fonctionne pas non plus, l'expression n'est peut-être pas factorisable ou nécessite des méthodes plus avancées (comme la factorisation par regroupement ou l'utilisation du discriminant en Seconde).

Peut-on avoir plusieurs étapes de factorisation ?

Oui, absolument ! Il est fréquent de devoir d'abord factoriser par un facteur commun, puis d'appliquer une identité remarquable, ou l'inverse. Par exemple, $2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4) = 2(x-2)(x+2)$.

Comment reconnaître rapidement $a^2$ et $b^2$ ?

Entraînez-vous à reconnaître les carrés parfaits : $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144...$ ainsi que les carrés de variables : $x^2, y^2, (2x)^2 = 4x^2, (3y)^2 = 9y^2$, etc.

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