Nombres et Calculs · Fiche N°22 / 104

L'identité remarquable a²-b²

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

📚 Niveau 3ème ⏱ Lecture : 4 min ✅ Tombe au Brevet

Définition

L'identité remarquable différence de deux carrés, également appelée troisième identité remarquable, s'écrit sous la forme : $$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$$
Elle permet de factoriser une expression de la forme $a^2 - b^2$ en un produit de deux facteurs $(a - b)(a + b)$, ou de développer un produit de la forme $(a - b)(a + b)$ en une différence de deux carrés $a^2 - b^2$.
Les lettres $a$ et $b$ peuvent représenter des nombres, des variables ou des expressions algébriques.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier que l'expression est bien une différence de deux carrés avant d'appliquer la formule $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Méthode — L'identité remarquable a²-b²

1

Pour factoriser une expression de la forme $a^2 - b^2$

1. Identifier $a^2$ et $b^2$ dans l'expression. Il faut que l'expression soit une différence (un signe $-$) entre deux termes qui sont des carrés.
2. Déterminer $a$ et $b$. Pour cela, on prend la racine carrée de chaque terme : $a = \sqrt{a^2}$ et $b = \sqrt{b^2}$.
3. Appliquer la formule : $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
4. Simplifier si possible les facteurs obtenus.

2

Pour développer une expression de la forme $(a - b)(a + b)$

1. Identifier $a$ et $b$ dans les deux facteurs. Il faut que les facteurs soient de la forme $(a - b)$ et $(a + b)$, c'est-à-dire les mêmes termes avec un signe $-$ dans l'un et un signe $+$ dans l'autre.
2. Appliquer la formule : $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
3. Calculer les carrés $a^2$ et $b^2$.
4. Simplifier l'expression finale.

Exemple résolu

Voyons quelques exemples pour comprendre comment appliquer cette identité remarquable.

1
Factoriser $x^2 - 9$
On identifie $a^2 = x^2$ et $b^2 = 9$. Donc $a = x$ et $b = \sqrt{9} = 3$.
On applique la formule : $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
2
Factoriser $4y^2 - 25$
On identifie $a^2 = 4y^2$ et $b^2 = 25$. Donc $a = \sqrt{4y^2} = 2y$ et $b = \sqrt{25} = 5$.
On applique la formule : $4y^2 - 25 = (2y - 5)(2y + 5)$.
3
Factoriser $1 - 16t^2$
On identifie $a^2 = 1$ et $b^2 = 16t^2$. Donc $a = \sqrt{1} = 1$ et $b = \sqrt{16t^2} = 4t$.
On applique la formule : $1 - 16t^2 = (1 - 4t)(1 + 4t)$.
4
Développer $(2x - 7)(2x + 7)$
On identifie $a = 2x$ et $b = 7$.
On applique la formule : $(2x - 7)(2x + 7) = (2x)^2 - 7^2 = 4x^2 - 49$.
5
Développer $(3 + 5y)(3 - 5y)$
On identifie $a = 3$ et $b = 5y$.
On applique la formule : $(3 + 5y)(3 - 5y) = 3^2 - (5y)^2 = 9 - 25y^2$.
6
Factoriser $x^2 + 4$
✗ NonCe n'est pas une différence de deux carrés, mais une somme de deux carrés. L'identité $a^2 - b^2$ ne s'applique pas ici. Cette expression n'est pas factorisable dans l'ensemble des nombres réels.
7
Factoriser $x^2 - 8$
Non (pas directement) — Bien que ce soit une différence, $8$ n'est pas un carré parfait. On pourrait écrire $x^2 - (\sqrt{8})^2 = x^2 - (2\sqrt{2})^2 = (x - 2\sqrt{2})(x + 2\sqrt{2})$, mais ce n'est pas une factorisation simple avec des entiers.

Ces exemples montrent l'importance d'identifier correctement $a$ et $b$ et de s'assurer que l'expression est bien une différence de deux carrés pour appliquer cette identité remarquable.

⚠️ Erreurs courantes à éviter

  1. Confondre avec une somme de carrés : L'identité ne s'applique qu'à une différence de deux carrés ($a^2 - b^2$), jamais à une somme ($a^2 + b^2$).
  2. Oublier les parenthèses : Lors du développement de $(a - b)(a + b)$, il est crucial de bien mettre les parenthèses autour des termes complexes pour les élever au carré. Par exemple, $(2x)^2 = 4x^2$ et non $2x^2$.
  3. Ne pas reconnaître les carrés : Il faut être capable d'identifier que $9 = 3^2$, $16 = 4^2$, $25 = 5^2$, $4x^2 = (2x)^2$, etc.
  4. Inverser les signes : La formule est $(a - b)(a + b)$, pas $(a - b)(b - a)$ ou d'autres combinaisons de signes.

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Exercice type Brevet

Exercice : Application de l'identité remarquable $a^2 - b^2$

Partie 1 : Factorisation

Factoriser les expressions suivantes en utilisant l'identité remarquable $a^2 - b^2$ :

  1. $E_1 = x^2 - 49$
  2. $E_2 = 81 - y^2$
  3. $E_3 = 100z^2 - 1$
  4. $E_4 = (3x + 1)^2 - 16$
  5. $E_5 = 36 - (2y - 5)^2$

Partie 2 : Développement

Développer les expressions suivantes en utilisant l'identité remarquable $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ :

  1. $D_1 = (x - 6)(x + 6)$
  2. $D_2 = (5y + 2)(5y - 2)$
  3. $D_3 = (4 - 3z)(4 + 3z)$
  4. $D_4 = (2x - 3y)(2x + 3y)$
  5. $D_5 = (\frac{1}{2}a + \frac{3}{4}b)(\frac{1}{2}a - \frac{3}{4}b)$

Corrigé de l'exercice

Partie 1 : Factorisation

  1. $E_1 = x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x - 7)(x + 7)$
  2. $E_2 = 81 - y^2 = 9^2 - y^2 = (9 - y)(9 + y)$
  3. $E_3 = 100z^2 - 1 = (10z)^2 - 1^2 = (10z - 1)(10z + 1)$
  4. $E_4 = (3x + 1)^2 - 16 = (3x + 1)^2 - 4^2$
    On pose $a = (3x + 1)$ et $b = 4$.
    $E_4 = ((3x + 1) - 4)((3x + 1) + 4) = (3x + 1 - 4)(3x + 1 + 4) = (3x - 3)(3x + 5)$
    On peut encore factoriser $3x - 3 = 3(x - 1)$.
    $E_4 = 3(x - 1)(3x + 5)$
  5. $E_5 = 36 - (2y - 5)^2 = 6^2 - (2y - 5)^2$
    On pose $a = 6$ et $b = (2y - 5)$.
    $E_5 = (6 - (2y - 5))(6 + (2y - 5)) = (6 - 2y + 5)(6 + 2y - 5) = (11 - 2y)(1 + 2y)$

Partie 2 : Développement

  1. $D_1 = (x - 6)(x + 6) = x^2 - 6^2 = x^2 - 36$
  2. $D_2 = (5y + 2)(5y - 2) = (5y)^2 - 2^2 = 25y^2 - 4$
  3. $D_3 = (4 - 3z)(4 + 3z) = 4^2 - (3z)^2 = 16 - 9z^2$
  4. $D_4 = (2x - 3y)(2x + 3y) = (2x)^2 - (3y)^2 = 4x^2 - 9y^2$
  5. $D_5 = (\frac{1}{2}a + \frac{3}{4}b)(\frac{1}{2}a - \frac{3}{4}b) = (\frac{1}{2}a)^2 - (\frac{3}{4}b)^2 = \frac{1}{4}a^2 - \frac{9}{16}b^2$

Questions fréquentes

À quoi sert l'identité remarquable $a^2 - b^2$ ?
Elle sert principalement à factoriser des expressions algébriques de la forme $a^2 - b^2$ en un produit de facteurs $(a - b)(a + b)$, ce qui est utile pour résoudre des équations, simplifier des fractions ou étudier le signe d'une expression. Elle sert aussi à développer rapidement des produits de la forme $(a - b)(a + b)$.
Est-ce que $a^2 - b^2 = (b - a)(b + a)$ ?
Oui, c'est correct. En effet, $(b - a)(b + a) = b^2 - a^2$. Or $b^2 - a^2 = -(a^2 - b^2)$.
Cependant, $(b - a)(b + a) = b^2 - a^2$.
Et $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Si on prend $(b - a)(b + a)$, on a $b^2 - a^2$. Si l'expression de départ est $a^2 - b^2$, il faut bien utiliser $(a - b)(a + b)$.
Par exemple, $9 - x^2 = (3 - x)(3 + x)$. Si on écrit $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$. Ce sont deux expressions différentes.
Peut-on utiliser cette identité avec des nombres négatifs ou des fractions ?
Oui, $a$ et $b$ peuvent être n'importe quel nombre réel (positif, négatif, fractionnaire, décimal) ou expression algébrique. Par exemple, $(x - (-3))(x + (-3)) = (x + 3)(x - 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$ ou $(\frac{1}{2} - x)(\frac{1}{2} + x) = (\frac{1}{2})^2 - x^2 = \frac{1}{4} - x^2$.
Comment reconnaître une expression de la forme $a^2 - b^2$ ?
Il faut chercher une expression qui est une soustraction (un signe $-$) entre deux termes qui sont des carrés parfaits. Par exemple, $x^2 - 16$ ($x^2$ est le carré de $x$, $16$ est le carré de $4$), ou $25y^2 - 1$ ($25y^2$ est le carré de $5y$, $1$ est le carré de $1$). Il faut parfois transformer un peu l'expression pour faire apparaître les carrés.

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