Multiplier des fractions – Fiche Brevet Maths

Définition

Multiplier des fractions consiste à trouver une nouvelle fraction qui représente une partie d'une partie. C'est une opération fondamentale en arithmétique. La règle générale est la suivante : pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Soient deux fractions $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ (avec $b \neq 0$ et $d \neq 0$), leur produit est donné par la formule :
$$\frac{a}{b} × \frac{c}{d} = \frac{a × c}{b × d}$$

💡 Bon réflexe : Toujours simplifier les fractions au maximum, idéalement avant la multiplication pour faciliter les calculs.

Méthode — Multiplier des fractions

Étape 1 : Multiplier les numérateurs

Identifiez les numérateurs des deux fractions. Le numérateur est le chiffre du haut de la fraction. Multipliez ces deux nombres ensemble. Le résultat sera le numérateur de la fraction produit.

Étape 2 : Multiplier les dénominateurs

Identifiez les dénominateurs des deux fractions. Le dénominateur est le chiffre du bas de la fraction. Multipliez ces deux nombres ensemble. Le résultat sera le dénominateur de la fraction produit.

Étape 3 : Simplifier la fraction (si possible)

Une fois que vous avez obtenu la fraction produit, vérifiez si elle peut être simplifiée. Pour simplifier une fraction, divisez le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (PGCD). Il est souvent plus facile de simplifier avant de multiplier en cherchant des facteurs communs entre un numérateur et un dénominateur (même s'ils ne sont pas dans la même fraction).

Exemple résolu

Voici quelques exemples pour illustrer la multiplication de fractions. Nous allons appliquer les étapes décrites ci-dessus.

Calculer $\frac{2}{3} × \frac{4}{5}$

Numérateurs : $2 × 4 = 8$. Dénominateurs : $3 × 5 = 15$. Résultat : $\frac{8}{15}$. Cette fraction est irréductible.

Calculer $\frac{1}{2} × \frac{3}{4}$

Numérateurs : $1 × 3 = 3$. Dénominateurs : $2 × 4 = 8$. Résultat : $\frac{3}{8}$. Cette fraction est irréductible.

Calculer $\frac{3}{4} × \frac{2}{9}$

Méthode 1 (multiplication puis simplification) : Numérateurs : $3 × 2 = 6$. Dénominateurs : $4 × 9 = 36$. Résultat : $\frac{6}{36}$. Simplification par $6$ : $\frac{6 \div 6}{36 \div 6} = \frac{1}{6}$.
Méthode 2 (simplification avant multiplication) : $\frac{3}{4} × \frac{2}{9} = \frac{3}{2 × 2} × \frac{2}{3 × 3}$. On peut simplifier un $3$ au numérateur et au dénominateur, et un $2$ au numérateur et au dénominateur : $\frac{1}{2} × \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.

Calculer $5 × \frac{2}{7}$

Un nombre entier peut être écrit comme une fraction avec un dénominateur de $1$. Donc $5 = \frac{5}{1}$. Numérateurs : $5 × 2 = 10$. Dénominateurs : $1 × 7 = 7$. Résultat : $\frac{10}{7}$.

Comme vous pouvez le voir, la méthode est directe. La simplification préalable peut grandement faciliter les calculs, surtout avec des nombres plus grands.

⚠️ Ne pas confondre avec l'addition ou la soustraction !

Le piège le plus courant est d'appliquer les règles de l'addition ou de la soustraction de fractions à la multiplication.
Pour l'addition et la soustraction, il faut impérativement mettre les fractions sur le même dénominateur commun.
Pour la multiplication, cette étape n'est absolument pas nécessaire et serait même une erreur.
On multiplie directement les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

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Exercice type Brevet

Exercice : Multiplier des fractions

Calculez les produits suivants et donnez le résultat sous forme de fraction irréductible :

$\frac{3}{7} × \frac{2}{5}$
$\frac{4}{9} × \frac{3}{8}$
$6 × \frac{1}{4}$
$\frac{5}{12} × \frac{6}{25}$

Correction de l'exercice

$\frac{3}{7} × \frac{2}{5} = \frac{3 × 2}{7 × 5} = \frac{6}{35}$
$\frac{4}{9} × \frac{3}{8} = \frac{4 × 3}{9 × 8} = \frac{12}{72}$. Simplification : $\frac{12 \div 12}{72 \div 12} = \frac{1}{6}$.
Alternative (simplification avant) : $\frac{4}{9} × \frac{3}{8} = \frac{4}{3 × 3} × \frac{3}{2 × 4} = \frac{1}{3 × 2} = \frac{1}{6}$.
$6 × \frac{1}{4} = \frac{6}{1} × \frac{1}{4} = \frac{6 × 1}{1 × 4} = \frac{6}{4}$. Simplification : $\frac{6 \div 2}{4 \div 2} = \frac{3}{2}$.
$\frac{5}{12} × \frac{6}{25} = \frac{5 × 6}{12 × 25} = \frac{30}{300}$. Simplification : $\frac{30 \div 30}{300 \div 30} = \frac{1}{10}$.
Alternative (simplification avant) : $\frac{5}{12} × \frac{6}{25} = \frac{5}{2 × 6} × \frac{6}{5 × 5} = \frac{1}{2 × 5} = \frac{1}{10}$.

Questions fréquentes

Dois-je mettre les fractions sur le même dénominateur avant de multiplier ?

Non, absolument pas ! C'est une erreur fréquente. La mise au même dénominateur est nécessaire pour l'addition et la soustraction de fractions, mais pas pour la multiplication. Pour multiplier, on multiplie directement les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Comment multiplier une fraction par un nombre entier ?

Pour multiplier une fraction par un nombre entier, il suffit de considérer le nombre entier comme une fraction dont le dénominateur est $1$. Par exemple, $5$ peut être écrit comme $\frac{5}{1}$. Ensuite, vous appliquez la règle de multiplication des fractions : multipliez les numérateurs et les dénominateurs.

Est-il préférable de simplifier avant ou après la multiplication ?

Il est souvent plus simple et moins sujet aux erreurs de simplifier les fractions avant de les multiplier. Cela permet de travailler avec des nombres plus petits. Cherchez des facteurs communs entre n'importe quel numérateur et n'importe quel dénominateur (même s'ils ne sont pas dans la même fraction) et divisez-les par ces facteurs.

Que faire si les fractions sont négatives ?

Les règles des signes s'appliquent comme pour la multiplication des nombres entiers : un nombre négatif multiplié par un nombre positif donne un résultat négatif. Deux nombres négatifs multipliés entre eux donnent un résultat positif. Par exemple, $(-\frac{2}{3}) × \frac{1}{4} = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6}$ et $(-\frac{1}{2}) × (-\frac{3}{5}) = \frac{3}{10}$.

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