Soustraire des fractions – Fiche Brevet Maths

Définition

La soustraction de fractions est une opération qui permet de calculer la différence entre deux quantités exprimées sous forme fractionnaire. Pour soustraire des fractions, il est essentiel qu'elles aient le même dénominateur. Si ce n'est pas le cas, il faut d'abord les réduire au même dénominateur commun.
La règle générale est la suivante :
$$\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$$
où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres entiers, et $c \neq 0$.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier si les fractions ont le même dénominateur avant de soustraire. Si non, trouvez le PPCM pour faciliter les calculs.

Méthode — Soustraire des fractions

Étape 1 : Vérifier les dénominateurs

Regardez les dénominateurs des deux fractions. Sont-ils identiques ou différents ?

Étape 2 : Si les dénominateurs sont identiques

Si les dénominateurs sont les mêmes, soustrayez simplement les numérateurs entre eux et conservez le dénominateur commun.
Exemple : $$\frac{5}{7} - \frac{2}{7} = \frac{5-2}{7} = \frac{3}{7}$$

Étape 3 : Si les dénominateurs sont différents

Si les dénominateurs sont différents, il faut d'abord les rendre identiques. Pour cela, trouvez un dénominateur commun. Le plus simple est souvent le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) des deux dénominateurs, ou à défaut, le produit des deux dénominateurs.
Multipliez le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par le facteur nécessaire pour obtenir ce dénominateur commun.
Exemple : Pour $$\frac{3}{4} - \frac{1}{6}$$
Le PPCM de $4$ et $6$ est $12$.
$$\frac{3}{4} = \frac{3 × 3}{4 × 3} = \frac{9}{12}$$
$$\frac{1}{6} = \frac{1 × 2}{6 × 2} = \frac{2}{12}$$

Étape 4 : Effectuer la soustraction

Une fois que les fractions ont le même dénominateur, soustrayez les numérateurs et conservez le dénominateur commun.
En reprenant l'exemple précédent :
$$\frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{9-2}{12} = \frac{7}{12}$$

Étape 5 : Simplifier le résultat (si possible)

Après la soustraction, vérifiez si la fraction résultante peut être simplifiée. Pour cela, divisez le numérateur et le dénominateur par leur Plus Grand Commun Diviseur (PGCD).
Exemple : $$\frac{7}{12}$$ ne peut pas être simplifiée car $7$ et $12$ n'ont pas de diviseur commun autre que $1$.

Exemple résolu

Voici quelques exemples pour tester votre compréhension de la soustraction de fractions.

$$\frac{7}{9} - \frac{2}{9}$$

Les dénominateurs sont identiques. On soustrait les numérateurs : $7-2=5$. Le résultat est $$\frac{5}{9}$$.

$$\frac{5}{6} - \frac{1}{3}$$

Les dénominateurs sont différents. Le dénominateur commun est $6$. On convertit $$\frac{1}{3}$$ en $$\frac{1 × 2}{3 × 2} = \frac{2}{6}$$. Ensuite, $$\frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6}$$. On simplifie : $$\frac{3 \div 3}{6 \div 3} = \frac{1}{2}$$.

$$\frac{2}{5} - \frac{3}{4}$$

Les dénominateurs sont différents. Le dénominateur commun est $5 × 4 = 20$. On convertit $$\frac{2}{5}$$ en $$\frac{2 × 4}{5 × 4} = \frac{8}{20}$$ et $$\frac{3}{4}$$ en $$\frac{3 × 5}{4 × 5} = \frac{15}{20}$$. Ensuite, $$\frac{8}{20} - \frac{15}{20} = \frac{8-15}{20} = \frac{-7}{20}$$.

Ces exemples illustrent les différentes situations que vous pouvez rencontrer lors de la soustraction de fractions, avec ou sans dénominateur commun, et la nécessité de simplifier le résultat.

⚠️ Ne pas soustraire les dénominateurs !

Soustraire les dénominateurs après avoir soustrait les numérateurs. Rappelez-vous que le dénominateur commun représente la taille des parts, et cette taille ne change pas. Seul le nombre de parts (le numérateur) est modifié.
Par exemple, $$\frac{5}{7} - \frac{2}{7}$$ n'est PAS $$\frac{5-2}{7-7} = \frac{3}{0}$$ (ce qui est impossible). Le bon calcul est $$\frac{5-2}{7} = \frac{3}{7}$$.

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Exercice type Brevet

Exercice : Soustraction de fractions

Calculez les soustractions de fractions suivantes en détaillant les étapes et en simplifiant le résultat si possible :

$$\frac{8}{11} - \frac{3}{11}$$
$$\frac{7}{8} - \frac{1}{4}$$
$$\frac{5}{6} - \frac{2}{9}$$
$$3 - \frac{5}{7}$$

Corrigé de l'exercice

$$\frac{8}{11} - \frac{3}{11} = \frac{8-3}{11} = \frac{5}{11}$$ (Les dénominateurs sont identiques, on soustrait les numérateurs.)
$$\frac{7}{8} - \frac{1}{4}$$
Le dénominateur commun est $8$. On convertit $$\frac{1}{4}$$ : $$\frac{1 × 2}{4 × 2} = \frac{2}{8}$$.
$$\frac{7}{8} - \frac{2}{8} = \frac{7-2}{8} = \frac{5}{8}$$
$$\frac{5}{6} - \frac{2}{9}$$
Le PPCM de $6$ et $9$ est $18$.
On convertit $$\frac{5}{6}$$ : $$\frac{5 × 3}{6 × 3} = \frac{15}{18}$$.
On convertit $$\frac{2}{9}$$ : $$\frac{2 × 2}{9 × 2} = \frac{4}{18}$$.
$$\frac{15}{18} - \frac{4}{18} = \frac{15-4}{18} = \frac{11}{18}$$
$$3 - \frac{5}{7}$$
On peut écrire $3$ comme une fraction : $$\frac{3}{1}$$.
Le dénominateur commun est $7$. On convertit $$\frac{3}{1}$$ : $$\frac{3 × 7}{1 × 7} = \frac{21}{7}$$.
$$\frac{21}{7} - \frac{5}{7} = \frac{21-5}{7} = \frac{16}{7}$$

Questions fréquentes

Pourquoi faut-il avoir le même dénominateur pour soustraire des fractions ?

Imaginez que vous avez un gâteau coupé en $4$ parts et un autre gâteau coupé en $6$ parts. Vous ne pouvez pas directement soustraire une part du premier gâteau et une part du second sans les comparer sur une base commune. Le dénominateur représente la taille des parts. Pour soustraire, il faut que les parts soient de la même taille, d'où la nécessité d'un dénominateur commun.

Comment trouver le plus petit dénominateur commun (PPCM) ?

Le PPCM de deux nombres est le plus petit multiple commun à ces deux nombres. Pour le trouver, vous pouvez lister les multiples de chaque dénominateur jusqu'à trouver le premier multiple identique. Par exemple, pour $4$ et $6$ :
Multiples de $4$ : $4, 8, \textbf{12}, 16, ...$
Multiples de $6$ : $6, \textbf{12}, 18, ...$
Le PPCM est $12$.

Que faire si le résultat de la soustraction est négatif ?

Si le numérateur de la première fraction est plus petit que celui de la seconde (après mise au même dénominateur), le résultat sera une fraction négative. C'est tout à fait normal. Par exemple, $$\frac{1}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1-2}{3} = \frac{-1}{3}$$.

Est-ce que l'ordre des fractions est important dans la soustraction ?

Oui, absolument ! La soustraction n'est pas commutative. $$\frac{a}{b} - \frac{c}{d}$$ n'est généralement pas égale à $$\frac{c}{d} - \frac{a}{b}$$. L'ordre est crucial et modifier l'ordre changera le signe du résultat.

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