Les puissances de 10 – Fiche Brevet Maths

Q: Pourquoi $10^0 = 1$ ?

La règle de division des puissances dit que $\frac{10^a}{10^b} = 10^{a-b}$. Si $a=b$, alors $\frac{10^a}{10^a} = 10^{a-a} = 10^0$. Or, tout nombre non nul divisé par lui-même est égal à $1$. Donc, $10^0 = 1$.

Q: Comment savoir si l'exposant est positif ou négatif en notation scientifique ?

Si le nombre d'origine est grand (supérieur à $10$), l'exposant est positif. Si le nombre est petit (entre $0$ et $1$), l'exposant est négatif.

Q: Peut-on additionner ou soustraire des puissances de $10$ directement ?

Non, il n'y a pas de règle simple pour additionner ou soustraire des puissances de $10$ directement comme pour la multiplication ou la division. Il faut d'abord les convertir en nombres décimaux ou les mettre sous la même puissance de $10$ pour les additionner/soustraire. Par exemple, $10^2 + 10^3 = 100 + 1000 = 1100$ (et non $10^5$). On peut aussi écrire $10^2 + 10^3 = 10^2(1 + 10^1) = 100(1+10) = 100 × 11 = 1100$.

Q: Quelle est la différence entre $10^n$ et $n^{10}$ ?

$10^n$ est $10$ multiplié par lui-même $n$ fois (base $10$, exposant $n$). $n^{10}$ est $n$ multiplié par lui-même $10$ fois (base $n$, exposant $10$). Ce sont des opérations très différentes. Par exemple, $10^2 = 100$ mais $2^{10} = 1024$.

Définition

Une puissance de $10$ est un nombre qui peut s'écrire sous la forme $10^n$, où $n$ est un entier relatif.

Si $n$ est un entier positif, $10^n$ est le nombre $1$ suivi de $n$ zéros. Par exemple, $10^3 = 10 × 10 × 10 = 1000$.
Si $n$ est un entier négatif, $10^n$ est l'inverse de $10^{-n}$. Par exemple, $10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01$.
Par convention, $10^0 = 1$.

Les puissances de $10$ sont très utilisées en sciences pour écrire des nombres très grands ou très petits de manière compacte (notation scientifique).

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier le signe de l'exposant et le nombre de zéros (ou de décimales) pour éviter les erreurs de calcul.

Méthode — Les puissances de 10

Comprendre la signification de l'exposant

L'exposant $n$ indique combien de fois $10$ est multiplié par lui-même (si $n > 0$) ou combien de fois $10$ est divisé (si $n < 0$).

$10^n = 10 × 10 × ... × 10$ ($n$ fois) si $n > 0$.
$10^{-n} = \frac{1}{10^n} = \frac{1}{10 × 10 × ... × 10}$ ($n$ fois) si $n < 0$.
$10^0 = 1$.

Multiplier et diviser des puissances de 10

Pour multiplier des puissances de $10$, on additionne les exposants : $10^a × 10^b = 10^{a+b}$.
Pour diviser des puissances de $10$, on soustrait les exposants : $\frac{10^a}{10^b} = 10^{a-b}$.

Calculer une puissance de puissance de 10

Pour élever une puissance de $10$ à une autre puissance, on multiplie les exposants : $(10^a)^b = 10^{a × b}$.

Écrire un nombre en notation scientifique

Un nombre est en notation scientifique s'il est écrit sous la forme $a × 10^n$, où $1 \leq |a| < 10$ et $n$ est un entier relatif. Pour convertir un nombre en notation scientifique, déplacez la virgule pour que $a$ soit entre $1$ et $10$ (ou $-1$ et $-10$) et comptez le nombre de décalages pour trouver $n$. Si la virgule se déplace vers la gauche, $n$ est positif ; si elle se déplace vers la droite, $n$ est négatif.

Exemple résolu

Vérifions la compréhension des règles des puissances de $10$ avec quelques exemples.

Calculer $10^4$

$10^4 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10000$

Calculer $10^{-3}$

$10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0,001$

Simplifier $10^5 × 10^{-2}$

$10^5 × 10^{-2} = 10^{5+(-2)} = 10^3$

Simplifier $\frac{10^7}{10^3}$

$\frac{10^7}{10^3} = 10^{7-3} = 10^4$

Simplifier $(10^2)^4$

$(10^2)^4 = 10^{2 × 4} = 10^8$

Écrire $54000$ en notation scientifique

$54000 = 5,4 × 10^4$

Écrire $0,000072$ en notation scientifique

$0,000072 = 7,2 × 10^{-5}$

Ces exemples illustrent l'application des règles fondamentales des puissances de $10$.

⚠️ Confusion entre $10^{-n}$ et $-10^n$

Ne pas confondre $10^{-n}$ et $-10^n$.
$10^{-n}$ est une fraction ou un nombre décimal positif très petit, par exemple $10^{-2} = 0,01$.
$-10^n$ est un nombre négatif, par exemple $-10^2 = -100$.
Le signe moins n'est pas inclus dans la puissance si les parenthèses ne sont pas présentes.

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Exercice type Brevet

Exercice sur les puissances de 10

Calculer :
a) $10^5$
b) $10^{-4}$
c) $10^0$
Simplifier les expressions suivantes en une seule puissance de $10$ :
a) $10^6 × 10^{-3}$
b) $\frac{10^8}{10^2}$
c) $(10^3)^{-2}$
Écrire les nombres suivants en notation scientifique :
a) $3450000$
b) $0,00000067$
c) $12,5 × 10^3$

Correction de l'exercice

Calculer :
a) $10^5 = 100000$
b) $10^{-4} = 0,0001$
c) $10^0 = 1$
Simplifier les expressions suivantes en une seule puissance de $10$ :
a) $10^6 × 10^{-3} = 10^{6+(-3)} = 10^3$
b) $\frac{10^8}{10^2} = 10^{8-2} = 10^6$
c) $(10^3)^{-2} = 10^{3 × (-2)} = 10^{-6}$
Écrire les nombres suivants en notation scientifique :
a) $3450000 = 3,45 × 10^6$
b) $0,00000067 = 6,7 × 10^{-7}$
c) $12,5 × 10^3 = 1,25 × 10^1 × 10^3 = 1,25 × 10^{1+3} = 1,25 × 10^4$

Questions fréquentes

Pourquoi $10^0 = 1$ ?

La règle de division des puissances dit que $\frac{10^a}{10^b} = 10^{a-b}$. Si $a=b$, alors $\frac{10^a}{10^a} = 10^{a-a} = 10^0$. Or, tout nombre non nul divisé par lui-même est égal à $1$. Donc, $10^0 = 1$.

Comment savoir si l'exposant est positif ou négatif en notation scientifique ?

Si le nombre d'origine est grand (supérieur à $10$), l'exposant est positif. Si le nombre est petit (entre $0$ et $1$), l'exposant est négatif.

Peut-on additionner ou soustraire des puissances de $10$ directement ?

Non, il n'y a pas de règle simple pour additionner ou soustraire des puissances de $10$ directement comme pour la multiplication ou la division. Il faut d'abord les convertir en nombres décimaux ou les mettre sous la même puissance de $10$ pour les additionner/soustraire. Par exemple, $10^2 + 10^3 = 100 + 1000 = 1100$ (et non $10^5$). On peut aussi écrire $10^2 + 10^3 = 10^2(1 + 10^1) = 100(1+10) = 100 × 11 = 1100$.

Quelle est la différence entre $10^n$ et $n^{10}$ ?

$10^n$ est $10$ multiplié par lui-même $n$ fois (base $10$, exposant $n$). $n^{10}$ est $n$ multiplié par lui-même $10$ fois (base $n$, exposant $10$). Ce sont des opérations très différentes. Par exemple, $10^2 = 100$ mais $2^{10} = 1024$.

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