La notation scientifique – Fiche Brevet Maths

Q: Pourquoi utiliser la notation scientifique ?

Elle simplifie l'écriture et la manipulation de nombres très grands (comme la distance Terre-Soleil) ou très petits (comme la taille d'un atome), rendant les calculs plus clairs et moins sujets aux erreurs.

Q: Est-ce que $10 × 10^2$ est une notation scientifique ?

Non, car le nombre $10$ n'est pas strictement inférieur à $10$. Il faut l'écrire $1 × 10^1 × 10^2 = 1 × 10^3$.

Q: Que signifie $10^0$ ?

Toute puissance $10^0$ est égale à $1$. Donc $a × 10^0 = a × 1 = a$. Un nombre $a$ compris entre $1$ et $10$ (non inclus) est déjà en notation scientifique, on peut le voir comme $a × 10^0$.

Q: Comment faire la somme ou la différence de nombres en notation scientifique ?

Pour additionner ou soustraire, il faut que les nombres aient la même puissance de $10$. Par exemple, pour calculer $2 × 10^3 + 3 × 10^4$, on convertit $2 × 10^3$ en $0,2 × 10^4$. Alors $0,2 × 10^4 + 3 × 10^4 = (0,2 + 3) × 10^4 = 3,2 × 10^4$.

Définition

La notation scientifique (ou écriture scientifique) permet d'écrire un nombre très grand ou très petit sous une forme simplifiée. Un nombre est écrit en notation scientifique s'il est de la forme $a × 10^n$, où :

$a$ est un nombre décimal tel que $1 \leq |a| < 10$ (c'est-à-dire que $a$ a un seul chiffre non nul avant la virgule).
$n$ est un nombre entier relatif (positif, négatif ou nul).

💡 Bon réflexe : Vérifiez toujours que le nombre $a$ est bien compris entre $1$ (inclus) et $10$ (exclu) et que l'exposant $n$ a le bon signe.

Méthode — La notation scientifique

Étape 1 : Placer la virgule

Déplacez la virgule du nombre initial de manière à obtenir un nombre $a$ qui a un seul chiffre non nul avant la virgule. Ce chiffre doit être compris entre $1$ et $9$ (inclus).

Étape 2 : Déterminer la puissance de 10

Comptez le nombre de rangs dont vous avez déplacé la virgule. Ce nombre de rangs correspond à la valeur absolue de $n$.

Si vous avez déplacé la virgule vers la gauche, $n$ est positif.
Si vous avez déplacé la virgule vers la droite, $n$ est négatif.

Étape 3 : Écrire le nombre sous la forme $a × 10^n$

Combinez le nombre $a$ obtenu à l'étape 1 et la puissance de $10^n$ déterminée à l'étape 2.

Exemple résolu

Voyons quelques exemples pour comprendre comment appliquer la méthode.

$543000$

On déplace la virgule de $5$ rangs vers la gauche pour obtenir $5,43$. Donc $n=5$. L'écriture scientifique est $5,43 × 10^5$.

$0,0000078$

On déplace la virgule de $6$ rangs vers la droite pour obtenir $7,8$. Donc $n=-6$. L'écriture scientifique est $7,8 × 10^{-6}$.

$12,5 × 10^3$

✗ NonLe nombre $12,5$ n'est pas compris entre $1$ et $10$. Il faut le convertir en $1,25 × 10^1$. L'écriture scientifique est $1,25 × 10^1 × 10^3 = 1,25 × 10^4$.

$0,5 × 10^{-2}$

✗ NonLe nombre $0,5$ n'est pas compris entre $1$ et $10$. Il faut le convertir en $5 × 10^{-1}$. L'écriture scientifique est $5 × 10^{-1} × 10^{-2} = 5 × 10^{-3}$.

$9,99$

Le nombre $9,99$ est déjà compris entre $1$ et $10$. L'écriture scientifique est $9,99 × 10^0$ (ou simplement $9,99$).

Ces exemples montrent l'importance de respecter la condition $1 \leq |a| < 10$ pour le nombre $a$.

⚠️ Attention au signe de l'exposant !

Inverser le signe de l'exposant $n$. Retenez bien :
Si le nombre initial est 'grand' (supérieur à $10$), l'exposant sera positif.
Si le nombre initial est 'petit' (entre $0$ et $1$), l'exposant sera négatif.
Par exemple, $0,005 = 5 × 10^{-3}$ (virgule déplacée vers la droite, exposant négatif), et non $5 × 10^3$.

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Exercice type Brevet

Exercice : Écriture scientifique

Écrivez les nombres suivants en notation scientifique :

$34500000$
$0,000000012$
$78,9 × 10^5$
$0,045 × 10^{-3}$
$123,45$

Corrigé de l'exercice

$34500000 = 3,45 × 10^7$ (virgule déplacée de $7$ rangs vers la gauche)
$0,000000012 = 1,2 × 10^{-8}$ (virgule déplacée de $8$ rangs vers la droite)
$78,9 × 10^5 = (7,89 × 10^1) × 10^5 = 7,89 × 10^{1+5} = 7,89 × 10^6$
$0,045 × 10^{-3} = (4,5 × 10^{-2}) × 10^{-3} = 4,5 × 10^{-2-3} = 4,5 × 10^{-5}$
$123,45 = 1,2345 × 10^2$ (virgule déplacée de $2$ rangs vers la gauche)

Questions fréquentes

Pourquoi utiliser la notation scientifique ?

Elle simplifie l'écriture et la manipulation de nombres très grands (comme la distance Terre-Soleil) ou très petits (comme la taille d'un atome), rendant les calculs plus clairs et moins sujets aux erreurs.

Est-ce que $10 × 10^2$ est une notation scientifique ?

Non, car le nombre $10$ n'est pas strictement inférieur à $10$. Il faut l'écrire $1 × 10^1 × 10^2 = 1 × 10^3$.

Que signifie $10^0$ ?

Toute puissance $10^0$ est égale à $1$. Donc $a × 10^0 = a × 1 = a$. Un nombre $a$ compris entre $1$ et $10$ (non inclus) est déjà en notation scientifique, on peut le voir comme $a × 10^0$.

Comment faire la somme ou la différence de nombres en notation scientifique ?

Pour additionner ou soustraire, il faut que les nombres aient la même puissance de $10$. Par exemple, pour calculer $2 × 10^3 + 3 × 10^4$, on convertit $2 × 10^3$ en $0,2 × 10^4$. Alors $0,2 × 10^4 + 3 × 10^4 = (0,2 + 3) × 10^4 = 3,2 × 10^4$.

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