Nombres et Calculs · Fiche N°1 / 104

Reconnaître un nombre premier

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

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Définition

Un nombre entier naturel est dit premier s'il possède exactement deux diviseurs distincts : $1$ et lui-même.
Le nombre $1$ n'est pas un nombre premier car il n'a qu'un seul diviseur ($1$).
Le nombre $2$ est le seul nombre premier pair.

💡 Bon réflexe : Commence toujours par vérifier si le nombre est pair (et supérieur à $2$) ou s'il est $1$. Cela te fera gagner du temps !

Méthode — Reconnaître un nombre premier

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Étape 1 : Vérifier les cas particuliers

  • Si le nombre est $1$, il n'est pas premier.
  • Si le nombre est $2$, il est premier.
  • Si le nombre est pair et supérieur à $2$, il n'est pas premier (car il est divisible par $2$).

2

Étape 2 : Tester la divisibilité par les nombres premiers successifs

Pour un nombre $N$ impair, on teste sa divisibilité par les nombres premiers successifs : $3, 5, 7, 11, \dots$
On arrête de tester quand le nombre premier testé $p$ vérifie $p^2 > N$ (ou de manière équivalente $p > \sqrt{N}$). Si aucun de ces nombres premiers n'est un diviseur de $N$, alors $N$ est premier.

3

Étape 3 : Conclure

  • Si le nombre est divisible par un des nombres premiers testés (autre que lui-même), il n'est pas premier.
  • Si le nombre n'est divisible par aucun des nombres premiers testés jusqu'à $\sqrt{N}$, alors il est premier.

Exemple résolu

Déterminons si les nombres suivants sont premiers : $29$, $51$, $97$.

1
$29$
  • $29$ est impair.
  • $\sqrt{29} \approx 5,38$. Les nombres premiers à tester sont $3$ et $5$.
  • $29 \div 3 = 9$ reste $2$ (non divisible par $3$).
  • $29 \div 5 = 5$ reste $4$ (non divisible par $5$).
  • Puisque $29$ n'est divisible par aucun nombre premier jusqu'à $\sqrt{29}$, $29$ est un nombre premier.
2
$51$
✗ Non
  • $51$ est impair.
  • $\sqrt{51} \approx 7,14$. Les nombres premiers à tester sont $3, 5, 7$.
  • $51 \div 3 = 17$ (divisible par $3$).
  • Puisque $51$ est divisible par $3$, $51$ n'est pas un nombre premier. ($51 = 3 × 17$)
3
$97$
  • $97$ est impair.
  • $\sqrt{97} \approx 9,85$. Les nombres premiers à tester sont $3, 5, 7$.
  • $97 \div 3 = 32$ reste $1$ (non divisible par $3$).
  • $97 \div 5 = 19$ reste $2$ (non divisible par $5$).
  • $97 \div 7 = 13$ reste $6$ (non divisible par $7$).
  • Puisque $97$ n'est divisible par aucun nombre premier jusqu'à $\sqrt{97}$, $97$ est un nombre premier.

En appliquant la méthode, on peut déterminer si un nombre est premier ou non en testant sa divisibilité par les nombres premiers jusqu'à sa racine carrée.

⚠️ Oublier la condition d'arrêt ou tester trop de diviseurs

  1. Tester la divisibilité par tous les nombres inférieurs au nombre donné, ou d'oublier la condition d'arrêt $p^2 > N$. Tester la divisibilité au-delà de $\sqrt{N}$ est inutile car si $N = a × b$ avec $a > \sqrt{N}$, alors $b$ doit être inférieur à $\sqrt{N}$ (et on l'aurait déjà testé). Par exemple, pour $91$, $\sqrt{91} \approx 9,5$. On teste $3, 5, 7$. $91$ n'est pas divisible par $3$ ou $5$. $91 = 7 × 13$. Si on s'arrête à $7$, on trouve le diviseur. Si on allait jusqu'à $13$, on le trouverait aussi, mais c'est moins efficace.

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Exercice type Brevet

Déterminez si les nombres suivants sont premiers en justifiant votre réponse :
  1. $1$
  2. $37$
  3. $87$
  4. $101$
  1. $1$ : N'est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur ($1$).
  2. $37$ :
    • $37$ est impair.
    • $\sqrt{37} \approx 6,08$. Nombres premiers à tester : $3, 5$.
    • $37 \div 3 = 12$ reste $1$.
    • $37 \div 5 = 7$ reste $2$.
    • $37$ est premier.
  3. $87$ :
    • $87$ est impair.
    • $\sqrt{87} \approx 9,32$. Nombres premiers à tester : $3, 5, 7$.
    • $87 \div 3 = 29$.
    • $87$ n'est pas premier car il est divisible par $3$ ($87 = 3 × 29$).
  4. $101$ :
    • $101$ est impair.
    • $\sqrt{101} \approx 10,05$. Nombres premiers à tester : $3, 5, 7$.
    • $101 \div 3 = 33$ reste $2$.
    • $101 \div 5 = 20$ reste $1$.
    • $101 \div 7 = 14$ reste $3$.
    • $101$ est premier.

Questions fréquentes

Pourquoi le nombre $1$ n'est-il pas premier ?
Un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs distincts : $1$ et lui-même. Le nombre $1$ n'a qu'un seul diviseur ($1$), il ne remplit donc pas cette condition.
Pourquoi ne teste-t-on que les diviseurs premiers ?
Si un nombre $N$ est divisible par un nombre composé $C$ (par exemple $C=6$), alors $N$ est aussi divisible par les facteurs premiers de $C$ (ici $2$ et $3$). On aurait donc déjà trouvé un diviseur premier plus petit. Il suffit donc de tester la divisibilité par les nombres premiers.
Pourquoi s'arrêter à la racine carrée du nombre ?
Si un nombre $N$ a un diviseur $d$ tel que $d > \sqrt{N}$, alors il doit aussi avoir un autre diviseur $d'$ tel que $d' = N/d$. Puisque $d > \sqrt{N}$, alors $d' = N/d < N/\sqrt{N} = \sqrt{N}$. Cela signifie que si $N$ n'est pas premier, il aura nécessairement un diviseur inférieur ou égal à sa racine carrée. Il est donc inutile de chercher des diviseurs au-delà de cette limite.
Les nombres premiers sont-ils infinis ?
Oui, il existe une infinité de nombres premiers. C'est un théorème démontré par Euclide il y a plus de 2000 ans.

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