La simple distributivité : développer – Fiche Brevet Maths

Définition

La distributivité simple est une propriété mathématique qui permet de transformer un produit en une somme (ou une différence).

Elle s'énonce ainsi : pour tous nombres $a$, $b$ et $k$, on a :
$$\mathbf{k × (a + b) = k × a + k × b}$$
et
$$\mathbf{k × (a - b) = k × a - k × b}$$
L'action de transformer le produit $k × (a+b)$ en la somme $k × a + k × b$ s'appelle développer une expression.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier les signes, surtout quand un nombre négatif est distribué.

Méthode — La simple distributivité : développer

Identifier les termes

Dans l'expression à développer, identifiez le facteur commun ($k$) et les termes à l'intérieur de la parenthèse ($a$ et $b$).
Par exemple, dans $3 × (x + 5)$, $k=3$, $a=x$ et $b=5$.

Appliquer la formule

Multipliez le facteur commun ($k$) par chacun des termes à l'intérieur de la parenthèse. N'oubliez pas de conserver le signe de l'opération (addition ou soustraction) entre les termes.
Pour $3 × (x + 5)$, cela donne $3 × x + 3 × 5$.

Simplifier l'expression

Effectuez les multiplications et réduisez l'expression si possible.
Pour $3 × x + 3 × 5$, on obtient $3x + 15$.

Exemple résolu

Voici quelques exemples pour comprendre comment appliquer la distributivité simple :

$4 × (y + 2)$

$4 × y + 4 × 2 = 4y + 8$

$2 × (3 - x)$

$2 × 3 - 2 × x = 6 - 2x$

$x × (x + 7)$

$x × x + x × 7 = x^2 + 7x$

$-5 × (a + 3)$

$-5 × a + (-5) × 3 = -5a - 15$

$-(2x - 1)$

C'est comme $-1 × (2x - 1)$, donc $-1 × 2x - (-1) × 1 = -2x + 1$

La distributivité simple est une compétence fondamentale en algèbre.

⚠️ Attention aux signes !

Le piège le plus courant est d'oublier de distribuer le signe négatif. Si le facteur $k$ est négatif, il faut multiplier ce signe négatif par tous les termes à l'intérieur de la parenthèse.
Exemple : $-2 × (x - 3) = -2 × x - (-2) × 3 = -2x + 6$.
Une erreur fréquente serait d'écrire $-2x - 6$.

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Exercice type Brevet

Développez les expressions suivantes en utilisant la distributivité simple :

$A = 5 × (x + 4)$
$B = 3 × (2y - 7)$
$C = -4 × (a + 6)$
$D = -2 × (3 - 5x)$
$E = -(x - 8)$

$A = 5 × x + 5 × 4 = 5x + 20$
$B = 3 × 2y - 3 × 7 = 6y - 21$
$C = -4 × a + (-4) × 6 = -4a - 24$
$D = -2 × 3 - (-2) × 5x = -6 + 10x$
$E = -1 × x - (-1) × 8 = -x + 8$

Questions fréquentes

Quand utilise-t-on la distributivité simple ?

On l'utilise pour transformer un produit en une somme ou une différence, souvent pour simplifier des expressions ou résoudre des équations.

Est-ce que $k × (a + b)$ est la même chose que $(a + b) × k$ ?

Oui, la multiplication est commutative, donc l'ordre des facteurs ne change pas le produit. La distributivité s'applique de la même manière : $(a + b) × k = a × k + b × k$.

Peut-on développer avec plus de deux termes dans la parenthèse ?

Oui, la distributivité s'applique à un nombre quelconque de termes. Par exemple, $k × (a + b + c) = k × a + k × b + k × c$.

Quelle est la différence entre développer et factoriser ?

Développer, c'est transformer un produit en une somme (ou différence). Factoriser, c'est l'opération inverse : transformer une somme (ou différence) en un produit.

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