Calculer avec des racines carrées – Fiche Brevet Maths

Définition

La racine carrée d'un nombre réel positif $a$, notée $\sqrt{a}$, est le nombre réel positif dont le carré est $a$. Autrement dit, si $x = \sqrt{a}$, alors $x^2 = a$ et $x \geq 0$.
Quelques propriétés fondamentales :

$\sqrt{a × b} = \sqrt{a} × \sqrt{b}$ pour $a \geq 0, b \geq 0$
$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ pour $a \geq 0, b > 0$
$(\sqrt{a})^2 = a$ pour $a \geq 0$
$\sqrt{a^2} = a$ pour $a \geq 0$

💡 Bon réflexe : Toujours simplifier les racines carrées avant d'effectuer des additions ou soustractions.

Méthode — Calculer avec des racines carrées

Simplifier une racine carrée

Pour simplifier une racine carrée $\sqrt{a}$, on cherche à écrire $a$ sous la forme $b^2 × c$, où $b$ est le plus grand entier possible. Ensuite, on utilise la propriété $\sqrt{b^2 × c} = \sqrt{b^2} × \sqrt{c} = b\sqrt{c}$.
Exemple : $\sqrt{72} = \sqrt{36 × 2} = \sqrt{36} × \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.

Additionner ou soustraire des racines carrées

On ne peut additionner ou soustraire des racines carrées que si elles ont le même radicande (le nombre sous la racine). C'est comme additionner des 'familles' de nombres. On simplifie d'abord chaque racine si possible.
Exemple : $3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$.
Exemple : $\sqrt{12} + \sqrt{27} = \sqrt{4 × 3} + \sqrt{9 × 3} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.

Multiplier des racines carrées

On utilise la propriété $\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{a × b}$. Après la multiplication, on simplifie le résultat si possible.
Exemple : $\sqrt{3} × \sqrt{12} = \sqrt{3 × 12} = \sqrt{36} = 6$.
Exemple : $(2\sqrt{3}) × (5\sqrt{2}) = (2 × 5) × (\sqrt{3} × \sqrt{2}) = 10\sqrt{6}$.

Diviser des racines carrées

On utilise la propriété $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$. On peut aussi rendre le dénominateur rationnel en multipliant le numérateur et le dénominateur par la racine carrée du dénominateur.
Exemple : $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{48}{3}} = \sqrt{16} = 4$.
Exemple : $\frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3 × \sqrt{2}}{\sqrt{2} × \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Exemple résolu

Soit l'expression $A = 5\sqrt{18} - \sqrt{8} + 3\sqrt{50}$. Simplifions cette expression.

Simplifier $5\sqrt{18}$

$5\sqrt{18} = 5\sqrt{9 × 2} = 5 × 3\sqrt{2} = 15\sqrt{2}$

Simplifier $\sqrt{8}$

$\sqrt{8} = \sqrt{4 × 2} = 2\sqrt{2}$

Simplifier $3\sqrt{50}$

$3\sqrt{50} = 3\sqrt{25 × 2} = 3 × 5\sqrt{2} = 15\sqrt{2}$

Calculer $A = 15\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 15\sqrt{2}$

$A = (15 - 2 + 15)\sqrt{2} = 28\sqrt{2}$

L'expression simplifiée est $A = 28\sqrt{2}$.

⚠️ Erreurs courantes avec les racines carrées

Ne pas confondre $\sqrt{a+b}$ avec $\sqrt{a} + \sqrt{b}$. Ces expressions sont différentes ! Par exemple, $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$, mais $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$.
De même, $\sqrt{a-b}$ n'est pas égal à $\sqrt{a} - \sqrt{b}$.
Ne pas oublier les conditions de positivité : $\sqrt{a}$ n'est défini que pour $a \geq 0$.

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Exercice type Brevet

Simplifiez les expressions suivantes :
1. $B = \sqrt{75} - 2\sqrt{12} + \sqrt{3}$
2. $C = (\sqrt{5} + 2)^2$
3. $D = \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$

1. $B = \sqrt{75} - 2\sqrt{12} + \sqrt{3}$
$B = \sqrt{25 × 3} - 2\sqrt{4 × 3} + \sqrt{3}$
$B = 5\sqrt{3} - 2 × 2\sqrt{3} + \sqrt{3}$
$B = 5\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + \sqrt{3}$
$B = (5 - 4 + 1)\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

2. $C = (\sqrt{5} + 2)^2$
On utilise l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$C = (\sqrt{5})^2 + 2 × \sqrt{5} × 2 + 2^2$
$C = 5 + 4\sqrt{5} + 4$
$C = 9 + 4\sqrt{5}$

3. $D = \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$
$D = \sqrt{\frac{72}{2}}$
$D = \sqrt{36}$
$D = 6$

Questions fréquentes

Peut-on additionner $\sqrt{2}$ et $\sqrt{3}$ ?

Non, on ne peut pas additionner $\sqrt{2}$ et $\sqrt{3}$ directement car les radicandes (les nombres sous la racine) sont différents. Le résultat reste $\sqrt{2} + \sqrt{3}$.

Comment rendre un dénominateur rationnel ?

Pour rendre un dénominateur de la forme $\sqrt{a}$ rationnel, on multiplie le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{a}$. Par exemple, $\frac{b}{\sqrt{a}} = \frac{b × \sqrt{a}}{\sqrt{a} × \sqrt{a}} = \frac{b\sqrt{a}}{a}$.

Quelle est la différence entre $(\sqrt{a})^2$ et $\sqrt{a^2}$ ?

Pour $a \geq 0$, $(\sqrt{a})^2 = a$ et $\sqrt{a^2} = a$. Cependant, si $a$ peut être négatif, $\sqrt{a^2} = |a|$ (valeur absolue de $a$). Au Brevet, on travaille généralement avec des $a \geq 0$ pour les racines carrées.

Comment simplifier une expression comme $\sqrt{x^2}$ ?

Si $x \geq 0$, alors $\sqrt{x^2} = x$. Si $x < 0$, alors $\sqrt{x^2} = -x$. En général, $\sqrt{x^2} = |x|$. Dans le cadre du Brevet, on considère souvent que les variables sous une racine sont positives.

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