Définition
La médiane d'une série statistique est une valeur qui partage cette série en deux groupes de même effectif, une fois que les valeurs sont rangées dans l'ordre croissant (ou décroissant). Autrement dit, au moins la moitié des valeurs de la série sont inférieures ou égales à la médiane, et au moins la moitié des valeurs sont supérieures ou égales à la médiane.
Elle est notée $M$.
Méthode — Déterminer la médiane à partir d'un tableau
Étape 1 : Vérifier l'ordre des valeurs
Assurez-vous que les valeurs de la série statistique (les caractères étudiés) sont rangées dans l'ordre croissant. Si ce n'est pas le cas, rangez-les.
Étape 2 : Calculer l'effectif total
Additionnez tous les effectifs pour obtenir l'effectif total $N$ de la série statistique. C'est le nombre total d'individus ou d'observations.
Étape 3 : Déterminer la position de la médiane
- Si l'effectif total $N$ est impair, la médiane est la valeur de la série située à la position $\frac{N+1}{2}$.
- Si l'effectif total $N$ est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, situées aux positions $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{2} + 1$. Toute valeur comprise entre ces deux valeurs centrales (incluses) peut être considérée comme une médiane, mais par convention on prend souvent la moyenne.
Étape 4 : Identifier la médiane dans le tableau
Utilisez les effectifs cumulés croissants (ECC) pour trouver la valeur correspondant à la position déterminée à l'étape 3. L'ECC d'une valeur est la somme des effectifs de cette valeur et de toutes les valeurs précédentes.
Exemple résolu
Considérons le tableau suivant qui représente les notes obtenues par des élèves à un contrôle de mathématiques :
Étape 1 : Les notes sont déjà rangées dans l'ordre croissant.
Étape 2 : L'effectif total $N = 3 + 5 + 7 + 4 + 2 = 21$.
Étape 3 : L'effectif total $N=21$ est impair. La position de la médiane est $\frac{21+1}{2} = \frac{22}{2} = 11$.
Étape 4 : On cherche la 11ème valeur. En utilisant les ECC :
- Jusqu'à la note 8, il y a 3 élèves.
- Jusqu'à la note 10, il y a 8 élèves.
- Jusqu'à la note 12, il y a 15 élèves.
Cela signifie qu'au moins la moitié des élèves ont eu une note inférieure ou égale à 12, et au moins la moitié ont eu une note supérieure ou égale à 12.
⚠️ Ne pas ranger les valeurs ou oublier les effectifs cumulés
- Un piège fréquent est d'oublier de ranger les valeurs de la série dans l'ordre croissant avant de chercher la médiane.
- Un autre est de ne pas utiliser les effectifs cumulés pour trouver la position correcte dans le tableau, ce qui peut mener à une erreur si l'on se contente de regarder les effectifs bruts.
Pack Brevet Maths
Reçois 3 fiches gratuites pour préparer le Brevet
Les 3 fiches les plus importantes du programme de 3ème, en PDF prêt à imprimer. Offertes par Adil.
Pas de spam. Désinscription en un clic.
Exercice type Brevet
Voici le nombre de livres lus par mois par un groupe d'amis :| Nombre de livres lus | Effectif |
|---|---|
| 0 | 2 |
| 1 | 5 |
| 2 | 8 |
| 3 | 4 |
| 4 | 1 |
Déterminez la médiane de cette série statistique.
Étape 2 : Calcul de l'effectif total $N = 2 + 5 + 8 + 4 + 1 = 20$.
Étape 3 : L'effectif total $N=20$ est pair. Les positions des deux valeurs centrales sont $\frac{20}{2} = 10$ et $\frac{20}{2} + 1 = 11$.
Étape 4 : Utilisons les effectifs cumulés croissants (ECC) :
- Nombre de livres 0 : ECC = 2
- Nombre de livres 1 : ECC = 2 + 5 = 7
- Nombre de livres 2 : ECC = 7 + 8 = 15
- Nombre de livres 3 : ECC = 15 + 4 = 19
- Nombre de livres 4 : ECC = 19 + 1 = 20
La 11ème valeur est 2 (pour la même raison).
La médiane est la moyenne de ces deux valeurs : $M = \frac{2 + 2}{2} = 2$.
La médiane du nombre de livres lus est 2.
Questions fréquentes
La médiane est-elle toujours une valeur présente dans la série ?
Quelle est la différence entre la médiane et la moyenne ?
Que faire si les valeurs sont des intervalles ?
Pourquoi est-il important de ranger les valeurs ?
Pour aller plus loin
Votre enfant bloque sur ce chapitre ?
Adil explique la méthode en 1 séance. Cours en ligne disponibles partout en France à 20€/h.