Statistiques et Probabilités · Fiche N°87 / 104

Déterminer la médiane d'une série

Définition, méthode pas à pas, exemples corrigés et exercice type Brevet.

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Définition

La médiane d'une série statistique est une valeur qui partage la série, une fois classée par ordre croissant (ou décroissant), en deux groupes de même effectif. Autrement dit, au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane, et au moins la moitié des valeurs sont supérieures ou égales à la médiane.

Elle est une mesure de tendance centrale, tout comme la moyenne, mais elle est moins sensible aux valeurs extrêmes (valeurs aberrantes).

Mediane : valeur centrale de la serie ordonnee
💡 Bon réflexe : Toujours commencer par classer la série par ordre croissant !

Méthode — Déterminer la médiane d'une série

1

Étape 1 : Classer la série par ordre croissant

La première étape indispensable est de ranger toutes les valeurs de la série statistique du plus petit au plus grand.

2

Étape 2 : Déterminer l'effectif total ($N$)

Comptez le nombre total de valeurs dans la série. On appelle cet effectif $N$.

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Étape 3 : Identifier le cas ( $N$ pair ou $N$ impair)

Le calcul de la médiane diffère légèrement selon que l'effectif total $N$ est un nombre pair ou un nombre impair.

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Étape 4a : Si $N$ est impair

Si $N$ est impair, la médiane est la valeur située exactement au milieu de la série classée. Son rang est donné par la formule $\frac{N+1}{2}$.
Par exemple, si $N=11$, le rang de la médiane est $\frac{11+1}{2} = 6$. La médiane est la $6^{\text{ème}}$ valeur de la série classée.

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Étape 4b : Si $N$ est pair

Si $N$ est pair, il n'y a pas de valeur unique au milieu. La médiane est la moyenne des deux valeurs centrales. Ces deux valeurs ont pour rangs $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{2}+1$.
Par exemple, si $N=10$, les rangs des valeurs centrales sont $\frac{10}{2} = 5$ et $\frac{10}{2}+1 = 6$. La médiane est la moyenne de la $5^{\text{ème}}$ et de la $6^{\text{ème}}$ valeur de la série classée.

Exemple résolu

Déterminons la médiane des séries suivantes :

1
Série A : $12, 15, 8, 20, 10, 18, 13$
1. Série classée : $8, 10, 12, 13, 15, 18, 20$
2. Effectif total $N=7$ (impair).
3. Rang de la médiane : $\frac{7+1}{2} = 4$.
4. La $4^{\text{ème}}$ valeur est $13$.
Donc, la médiane est $13$.
2
Série B : $5, 9, 12, 4, 10, 8$
1. Série classée : $4, 5, 8, 9, 10, 12$
2. Effectif total $N=6$ (pair).
3. Rangs des valeurs centrales : $\frac{6}{2} = 3$ et $\frac{6}{2}+1 = 4$.
4. Les $3^{\text{ème}}$ et $4^{\text{ème}}$ valeurs sont $8$ et $9$.
5. La médiane est la moyenne de ces deux valeurs : $\frac{8+9}{2} = \frac{17}{2} = 8.5$.
Donc, la médiane est $8.5$.
3
Série C (avec effectifs) : Notes d'une classe : $10, 12, 15, 8, 12, 10, 14, 16, 12, 10, 18, 12, 15, 10, 12$
1. Série classée : $8, 10, 10, 10, 10, 12, 12, 12, 12, 12, 14, 15, 15, 16, 18$
2. Effectif total $N=15$ (impair).
3. Rang de la médiane : $\frac{15+1}{2} = 8$.
4. La $8^{\text{ème}}$ valeur est $12$.
Donc, la médiane est $12$.

Ces exemples montrent l'application de la méthode pour des effectifs pairs et impairs.

⚠️ L'oubli du classement de la série

  1. La plus grande erreur est de ne pas classer les valeurs de la série par ordre croissant (ou décroissant) avant de chercher la médiane. Si la série n'est pas ordonnée, la valeur que vous identifierez comme "centrale" n'aura aucune signification statistique et ne sera pas la médiane.
  2. Exemple : Série $10, 5, 12$. Si on ne classe pas, on pourrait penser que $5$ est la médiane. Or, la série classée est $5, 10, 12$. La médiane est $10$.

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Exercice type Brevet

Exercice : Calcul de la médiane

Pour chacune des séries statistiques suivantes, déterminez la médiane :

  1. Série 1 : $25, 18, 30, 22, 28, 20, 24$
  2. Série 2 : $50, 42, 60, 48, 55, 45, 52, 40$
  3. Série 3 : Les durées (en minutes) de 11 appels téléphoniques : $3, 8, 2, 15, 5, 10, 2, 7, 12, 5, 6$

Correction de l'exercice

  1. Série 1 : $25, 18, 30, 22, 28, 20, 24$
    • 1. Classement : $18, 20, 22, 24, 25, 28, 30$
    • 2. Effectif total $N=7$ (impair).
    • 3. Rang de la médiane : $\frac{7+1}{2} = 4$.
    • 4. La $4^{\text{ème}}$ valeur est $24$.
    • Médiane = $24$
  2. Série 2 : $50, 42, 60, 48, 55, 45, 52, 40$
    • 1. Classement : $40, 42, 45, 48, 50, 52, 55, 60$
    • 2. Effectif total $N=8$ (pair).
    • 3. Rangs des valeurs centrales : $\frac{8}{2} = 4$ et $\frac{8}{2}+1 = 5$.
    • 4. Les $4^{\text{ème}}$ et $5^{\text{ème}}$ valeurs sont $48$ et $50$.
    • 5. Moyenne : $\frac{48+50}{2} = \frac{98}{2} = 49$.
    • Médiane = $49$
  3. Série 3 : $3, 8, 2, 15, 5, 10, 2, 7, 12, 5, 6$
    • 1. Classement : $2, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 15$
    • 2. Effectif total $N=11$ (impair).
    • 3. Rang de la médiane : $\frac{11+1}{2} = 6$.
    • 4. La $6^{\text{ème}}$ valeur est $6$.
    • Médiane = $6$

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre la médiane et la moyenne ?
La moyenne est la somme de toutes les valeurs divisée par le nombre de valeurs. Elle est sensible aux valeurs extrêmes. La médiane est la valeur centrale d'une série ordonnée, elle partage la série en deux moitiés égales et est moins affectée par les valeurs extrêmes.
Peut-on avoir une médiane qui n'est pas une valeur de la série ?
Oui, si l'effectif total $N$ est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales. Cette moyenne peut ne pas être une valeur présente dans la série d'origine (par exemple, $8.5$ dans l'exemple B).
Que se passe-t-il si plusieurs valeurs sont identiques ?
Cela ne change rien à la méthode. Il faut simplement les inclure toutes lors du classement par ordre croissant. L'exemple C le montre bien.
La médiane est-elle toujours unique ?
Oui, la médiane est toujours une valeur unique. Même si elle est la moyenne de deux valeurs, le résultat est une seule valeur.

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