Définition
Une probabilité est une valeur numérique comprise entre $0$ et $1$ (ou entre $0 \%$ et $100 \%$) qui exprime la chance qu'un événement se produise. Un arbre de probabilités (ou arbre pondéré) est un diagramme qui permet de visualiser toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire en plusieurs étapes et de calculer leurs probabilités. Chaque branche de l'arbre est pondérée par la probabilité de l'événement qu'elle représente.
Méthode — Calculer une probabilité avec un arbre
Étape 1 : Construire l'arbre des possibles
Identifiez toutes les étapes de l'expérience aléatoire. Pour chaque étape, listez tous les événements possibles et dessinez les branches correspondantes. Chaque nœud de l'arbre représente un événement intermédiaire.
Étape 2 : Affecter les probabilités aux branches
Pour chaque branche, écrivez la probabilité de l'événement qu'elle représente. Si l'expérience est avec remise, les probabilités restent les mêmes à chaque étape. Si elle est sans remise, les probabilités changent car le nombre total d'issues possibles diminue.
Étape 3 : Calculer la probabilité d'un chemin (issue)
La probabilité d'une issue (un chemin complet de la racine à une feuille de l'arbre) est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin. Si un événement se produit après un autre, on multiplie les probabilités.
Étape 4 : Calculer la probabilité d'un événement complexe
Si un événement est réalisé par plusieurs chemins différents, sa probabilité est la somme des probabilités de chacun de ces chemins. Assurez-vous que la somme des probabilités de toutes les issues finales de l'arbre est égale à $1$.
Exemple résolu
On tire successivement et sans remise deux boules d'une urne contenant $3$ boules rouges (R) et $2$ boules bleues (B). On veut calculer la probabilité de tirer deux boules de couleurs différentes.
$P(R_1 \text{ et } B_2) = P(R_1) × P(B_2|R_1) = \frac{3}{5} × \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.
$P(B_1 \text{ et } R_2) = P(B_1) × P(R_2|B_1) = \frac{2}{5} × \frac{3}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.
$P(\text{couleurs différentes}) = P(R_1 \text{ et } B_2) + P(B_1 \text{ et } R_2) = \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
La probabilité de tirer deux boules de couleurs différentes est de $\frac{3}{5}$ ou $0,6$ ou $60 \%$.
⚠️ Confusion entre probabilités conditionnelles et probabilités d'intersection
- Ne confondez pas $P(A \text{ et } B)$ (probabilité que A et B se produisent) avec $P(B|A)$ (probabilité que B se produise sachant que A s'est déjà produit).
- Sur un arbre, la probabilité d'une branche est souvent une probabilité conditionnelle, et la probabilité d'un chemin est une probabilité d'intersection (produit des probabilités des branches).
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Exercice type Brevet
Exercice : Tirage de billes
Une urne contient $4$ billes vertes (V) et $6$ billes jaunes (J). On tire successivement et avec remise deux billes de l'urne.
- Dessinez l'arbre des probabilités correspondant à cette expérience.
- Calculez la probabilité de tirer deux billes vertes.
- Calculez la probabilité de tirer une bille verte puis une bille jaune.
- Calculez la probabilité de tirer au moins une bille jaune.
Correction de l'exercice
Nombre total de billes : $4 + 6 = 10$.
- Arbre des probabilités :
Puisque le tirage est avec remise, les probabilités restent les mêmes pour le deuxième tirage.
- Première branche : V avec $P(V_1) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
- Première branche : J avec $P(J_1) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
Pour chaque issue du premier tirage, on a les mêmes probabilités pour le second tirage :
- Si $V_1$, alors $V_2$ avec $P(V_2|V_1) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ et $J_2$ avec $P(J_2|V_1) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
- Si $J_1$, alors $V_2$ avec $P(V_2|J_1) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ et $J_2$ avec $P(J_2|J_1) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
Les issues finales et leurs probabilités sont :
- $(V_1, V_2)$: $P(V_1 \text{ et } V_2) = \frac{2}{5} × \frac{2}{5} = \frac{4}{25}$
- $(V_1, J_2)$: $P(V_1 \text{ et } J_2) = \frac{2}{5} × \frac{3}{5} = \frac{6}{25}$
- $(J_1, V_2)$: $P(J_1 \text{ et } V_2) = \frac{3}{5} × \frac{2}{5} = \frac{6}{25}$
- $(J_1, J_2)$: $P(J_1 \text{ et } J_2) = \frac{3}{5} × \frac{3}{5} = \frac{9}{25}$
- Probabilité de tirer deux billes vertes :
C'est l'issue $(V_1, V_2)$.
$P(V_1 \text{ et } V_2) = \frac{4}{25}$
- Probabilité de tirer une bille verte puis une bille jaune :
C'est l'issue $(V_1, J_2)$.
$P(V_1 \text{ et } J_2) = \frac{6}{25}$
- Probabilité de tirer au moins une bille jaune :
Cela signifie que l'on tire $(V_1, J_2)$ ou $(J_1, V_2)$ ou $(J_1, J_2)$.
$P(\text{au moins une J}) = P(V_1 \text{ et } J_2) + P(J_1 \text{ et } V_2) + P(J_1 \text{ et } J_2) = \frac{6}{25} + \frac{6}{25} + \frac{9}{25} = \frac{21}{25}$
On peut aussi calculer la probabilité de l'événement contraire : ne tirer aucune bille jaune, c'est-à-dire tirer deux billes vertes.
$P(\text{au moins une J}) = 1 - P(\text{aucune J}) = 1 - P(V_1 \text{ et } V_2) = 1 - \frac{4}{25} = \frac{25}{25} - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$
Questions fréquentes
Quand utiliser un arbre de probabilités ?
Comment vérifier si mon arbre est correct ?
Quelle est la différence entre tirage avec remise et sans remise ?
- Avec remise : L'objet tiré est remis dans l'urne avant le tirage suivant. Les probabilités ne changent pas à chaque étape.
- Sans remise : L'objet tiré n'est pas remis. Le nombre total d'objets diminue, et les probabilités changent pour les tirages suivants.
Peut-on utiliser un arbre pour des événements indépendants ?
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