Construire un arbre de probabilités – Fiche Brevet Maths

Définition

Un arbre de probabilités (ou arbre pondéré) est une représentation graphique qui permet de visualiser toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire en plusieurs étapes, ainsi que les probabilités associées à chaque branche. Chaque nœud de l'arbre représente un événement, et chaque branche est pondérée par la probabilité de l'événement qu'elle représente, sachant que l'on est arrivé à ce nœud. La somme des probabilités des branches partant d'un même nœud est toujours égale à $1$.

Arbre de probabilites a deux niveaux

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier que la somme des probabilités des branches partant d'un même nœud est égale à $1$ et que la somme de toutes les probabilités des issues finales est également égale à $1$.

Méthode — Construire un arbre de probabilités

Étape 1 : Identifier les étapes de l'expérience

Découpez l'expérience aléatoire en événements successifs. Par exemple, si vous tirez deux boules successivement, la première étape est le premier tirage, la seconde étape est le deuxième tirage.

Étape 2 : Dessiner le premier niveau de l'arbre

Partir d'un point initial. Pour chaque issue possible de la première étape, dessinez une branche. Au bout de chaque branche, écrivez l'événement correspondant et pondérez la branche par sa probabilité.

Étape 3 : Dessiner les niveaux suivants

À partir de chaque nœud du niveau précédent, dessinez de nouvelles branches pour représenter les issues possibles de l'étape suivante. Pondérez chaque nouvelle branche par la probabilité conditionnelle de l'événement, sachant que l'on est arrivé au nœud précédent. C'est la probabilité de l'événement B sachant A, notée $P(B|A)$.

Étape 4 : Calculer les probabilités des chemins

La probabilité d'un chemin (c'est-à-dire la probabilité d'une séquence d'événements) s'obtient en multipliant les probabilités rencontrées le long de ce chemin. Si un chemin mène à l'issue A puis à l'issue B, la probabilité de cette séquence est $P(A \text{ et } B) = P(A) × P(B|A)$.

Étape 5 : Vérifier la somme des probabilités

La somme des probabilités de tous les chemins finaux (toutes les issues possibles de l'expérience complète) doit être égale à $1$.

Exemple résolu

On dispose d'une urne contenant $3$ boules rouges (R) et $2$ boules bleues (B). On tire successivement et sans remise deux boules de l'urne. Construisons l'arbre de probabilités.

La somme des probabilités des branches partant du début est égale à $1$.

Au premier tirage, $P(R) = \frac{3}{5}$ et $P(B) = \frac{2}{5}$. Donc $\frac{3}{5} + \frac{2}{5} = \frac{5}{5} = 1$.

La probabilité d'obtenir deux boules rouges est $P(R_1 \text{ et } R_2) = \frac{3}{5} × \frac{2}{4}$.

Après avoir tiré une rouge (il reste $2$ rouges et $2$ bleues, soit $4$ boules), la probabilité de tirer une deuxième rouge est $\frac{2}{4}$. On multiplie les probabilités le long du chemin.

La somme des probabilités de toutes les issues finales est égale à $1$.

$P(R_1 \text{ et } R_2) = \frac{3}{5} × \frac{2}{4} = \frac{6}{20}$
$P(R_1 \text{ et } B_2) = \frac{3}{5} × \frac{2}{4} = \frac{6}{20}$
$P(B_1 \text{ et } R_2) = \frac{2}{5} × \frac{3}{4} = \frac{6}{20}$
$P(B_1 \text{ et } B_2) = \frac{2}{5} × \frac{1}{4} = \frac{2}{20}$

Somme : $\frac{6}{20} + \frac{6}{20} + \frac{6}{20} + \frac{2}{20} = \frac{20}{20} = 1$.

L'arbre de probabilités permet de visualiser clairement toutes les issues et leurs probabilités. On peut ensuite calculer la probabilité d'événements plus complexes en additionnant les probabilités des chemins correspondants. Par exemple, la probabilité d'avoir une boule de chaque couleur est $P(R_1 \text{ et } B_2) + P(B_1 \text{ et } R_2) = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$.

⚠️ Confondre tirage avec et sans remise

C'est une erreur fréquente ! Si le tirage est avec remise, les probabilités des branches des niveaux suivants restent les mêmes que celles du premier niveau, car la composition de l'urne ne change pas.
Si le tirage est sans remise, comme dans l'exemple, les probabilités changent à chaque étape car le nombre total de boules et/ou le nombre de boules d'une certaine couleur diminuent.
Il faut bien lire l'énoncé pour savoir si les probabilités conditionnelles sont nécessaires ou non.

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Exercice type Brevet

Une usine fabrique des ampoules. $20\%$ des ampoules sont défectueuses (D). Parmi les ampoules défectueuses, $10\%$ ont un défaut visible (V). Parmi les ampoules non défectueuses (ND), $2\%$ ont un défaut visible (cela peut arriver, par exemple, une rayure sans impact sur le fonctionnement).

Construire un arbre de probabilités représentant cette situation.
Calculer la probabilité qu'une ampoule choisie au hasard soit défectueuse et ait un défaut visible.
Calculer la probabilité qu'une ampoule choisie au hasard soit non défectueuse et ait un défaut visible.
Calculer la probabilité qu'une ampoule choisie au hasard ait un défaut visible.

1. Arbre de probabilités :

Première branche : Défectueuse (D) avec $P(D) = 0.20$. Non Défectueuse (ND) avec $P(ND) = 1 - 0.20 = 0.80$.
À partir de D : Défaut visible (V) avec $P(V|D) = 0.10$. Pas de défaut visible ($\bar{V}$) avec $P(\bar{V}|D) = 1 - 0.10 = 0.90$.
À partir de ND : Défaut visible (V) avec $P(V|ND) = 0.02$. Pas de défaut visible ($\bar{V}$) avec $P(\bar{V}|ND) = 1 - 0.02 = 0.98$.

L'arbre aurait les chemins suivants :

D $\rightarrow$ V : $P(D \cap V) = P(D) × P(V|D) = 0.20 × 0.10 = 0.02$
D $\rightarrow$ $\bar{V}$ : $P(D \cap \bar{V}) = P(D) × P(\bar{V}|D) = 0.20 × 0.90 = 0.18$
ND $\rightarrow$ V : $P(ND \cap V) = P(ND) × P(V|ND) = 0.80 × 0.02 = 0.016$
ND $\rightarrow$ $\bar{V}$ : $P(ND \cap \bar{V}) = P(ND) × P(\bar{V}|ND) = 0.80 × 0.98 = 0.784$

Vérification : $0.02 + 0.18 + 0.016 + 0.784 = 1$.

2. Probabilité qu'une ampoule soit défectueuse et ait un défaut visible :

C'est la probabilité du chemin D $\rightarrow$ V :

$P(D \cap V) = P(D) × P(V|D) = 0.20 × 0.10 = 0.02$.

3. Probabilité qu'une ampoule soit non défectueuse et ait un défaut visible :

C'est la probabilité du chemin ND $\rightarrow$ V :

$P(ND \cap V) = P(ND) × P(V|ND) = 0.80 × 0.02 = 0.016$.

4. Probabilité qu'une ampoule ait un défaut visible :

Pour qu'une ampoule ait un défaut visible, elle peut être défectueuse ET avoir un défaut visible, OU être non défectueuse ET avoir un défaut visible. On additionne les probabilités des chemins correspondants :

$P(V) = P(D \cap V) + P(ND \cap V) = 0.02 + 0.016 = 0.036$.

Questions fréquentes

Quand utilise-t-on un arbre de probabilités ?

On l'utilise principalement lorsque l'expérience aléatoire se déroule en plusieurs étapes successives, et que les événements des étapes suivantes peuvent dépendre des résultats des étapes précédentes (probabilités conditionnelles).

Qu'est-ce qu'une probabilité conditionnelle ?

La probabilité conditionnelle de l'événement B sachant que l'événement A est réalisé est notée $P(B|A)$. C'est la probabilité que B se produise, sachant que A s'est déjà produit. Sur un arbre, c'est la probabilité inscrite sur une branche qui part d'un nœud représentant l'événement A.

Comment calculer la probabilité d'un événement final ?

Pour calculer la probabilité d'une issue finale (un chemin complet de l'arbre), on multiplie les probabilités de toutes les branches qui composent ce chemin. Pour un événement qui regroupe plusieurs issues finales, on additionne les probabilités de ces issues.

La somme des probabilités des branches d'un nœud doit-elle toujours être $1$ ?

Oui, absolument. Cela signifie que toutes les issues possibles à partir de ce nœud ont été prises en compte. C'est une excellente vérification pour s'assurer que l'arbre est correctement construit.

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