Convexité et concavité d'une fonction : définition et méthode – Fiche BAC Terminale Maths

Q: Quelle est la différence entre convexité et concavité ?

Une fonction est convexe si sa courbe est 'tournée vers le haut' (au-dessus de ses tangentes), ce qui correspond à $f''(x) \geq 0$. Une fonction est concave si sa courbe est 'tournée vers le bas' (en dessous de ses tangentes), ce qui correspond à $f''(x) \leq 0$.

Q: Peut-on déterminer la convexité sans calculer la dérivée seconde ?

Oui, il existe une définition de la convexité basée sur la position de la courbe par rapport à ses cordes (segment reliant deux points de la courbe). Une fonction est convexe si toutes ses cordes sont au-dessus de la courbe. Cependant, pour les exercices du BAC, l'étude du signe de la dérivée seconde $f''(x)$ est la méthode la plus courante et la plus efficace.

Q: Qu'est-ce qu'un point d'inflexion ?

Un point d'inflexion est un point de la courbe où la fonction change de convexité, c'est-à-dire où elle passe de convexe à concave ou de concave à convexe. Graphiquement, la courbe traverse sa tangente en ce point. Cela se produit lorsque $f''(x)$ s'annule et change de signe.

Q: Est-ce que $f''(x_0) = 0$ suffit pour qu'il y ait un point d'inflexion en $x_0$ ?

Non, ce n'est pas suffisant. Il est impératif que $f''(x)$ change de signe en $x_0$. Par exemple, pour $f(x) = x^4$, on a $f''(x) = 12x^2$. $f''(0) = 0$, mais $f''(x) \geq 0$ pour tout $x$, donc $f$ est toujours convexe et il n'y a pas de point d'inflexion en $x=0$.

Définition

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$. On dit que $f$ est convexe sur $I$ si sa courbe représentative est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes sur $I$. On dit que $f$ est concave sur $I$ si sa courbe représentative est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes sur $I$. Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente, c'est-à-dire où la convexité de la fonction change.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier le signe de $f''(x)$ pour déterminer la convexité et ne pas oublier de calculer l'ordonnée du point d'inflexion si demandé.

Méthode — Convexité et concavité d'une fonction : définition et méthode

Calculer la dérivée seconde

Pour étudier la convexité d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$, la première étape est de calculer sa dérivée première $f'(x)$, puis sa dérivée seconde $f''(x)$. Il faut s'assurer que $f$ est bien deux fois dérivable sur $I$.

Étudier le signe de la dérivée seconde

Une fois $f''(x)$ calculée, on étudie son signe sur l'intervalle $I$. C'est le signe de $f''(x)$ qui détermine la convexité ou la concavité de $f$.

Déduire la convexité ou la concavité

Si $f''(x) \geq 0$ sur un intervalle $J \subset I$, alors $f$ est convexe sur $J$.
Si $f''(x) \leq 0$ sur un intervalle $J \subset I$, alors $f$ est concave sur $J$.

Identifier les points d'inflexion

Un point d'inflexion correspond à un changement de convexité. Cela se produit lorsque $f''(x)$ s'annule et change de signe. Si $f''(x_0) = 0$ et que $f''(x)$ change de signe en $x_0$, alors le point $(x_0, f(x_0))$ est un point d'inflexion.

Exemple résolu

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$. Étudier la convexité de $f$ et déterminer les éventuels points d'inflexion.

Calculer la dérivée première $f'(x)$.

La fonction $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$ est une fonction polynomiale, donc elle est indéfiniment dérivable sur $\mathbb{R}$. $$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$$

Calculer la dérivée seconde $f''(x)$.

On dérive $f'(x)$ pour obtenir $f''(x)$ : $$f''(x) = 6x - 6$$

Étudier le signe de $f''(x)$.

On cherche quand $f''(x) \geq 0$ : $$6x - 6 \geq 0 \iff 6x \geq 6 \iff x \geq 1$$ On a donc :

Si $x \in ]-\infty; 1[$, alors $f''(x) < 0$.
Si $x \in ]1; +\infty[$, alors $f''(x) > 0$.
Si $x = 1$, alors $f''(x) = 0$.

Déduire la convexité/concavité et les points d'inflexion.

Sur $]-\infty; 1[$, $f''(x) < 0$, donc $f$ est concave.
Sur $]1; +\infty[$, $f''(x) > 0$, donc $f$ est convexe.

En $x=1$, $f''(x)$ s'annule et change de signe. Il y a donc un point d'inflexion. On calcule l'ordonnée de ce point : $$f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 2(1) + 1 = 1 - 3 + 2 + 1 = 1$$ Le point d'inflexion est $(1; 1)$.

La fonction $f$ est concave sur $]-\infty; 1]$ et convexe sur $[1; +\infty[$. Elle admet un point d'inflexion au point $(1; 1)$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Confusion des signes

Ne pas confondre le signe de $f'(x)$ (qui donne les variations de $f$) avec le signe de $f''(x)$ (qui donne la convexité de $f$).
Oublier de vérifier que la fonction est bien deux fois dérivable sur l'intervalle d'étude avant de calculer $f''(x)$.
Affirmer qu'un point est un point d'inflexion uniquement parce que $f''(x_0)=0$. Il faut impérativement que $f''(x)$ change de signe en $x_0$.

Exercice type BAC

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x^2 + x + 1)e^{-x}$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = (-x^2 + x)e^{-x}$.
Calculer $f''(x)$ et montrer que $f''(x) = (x^2 - 3x + 1)e^{-x}$.
Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. Préciser les coordonnées des éventuels points d'inflexion de $\mathcal{C}_f$.

Calcul de $f'(x)$ :
La fonction $f$ est de la forme $u(x)v(x)$ avec $u(x) = x^2 + x + 1$ et $v(x) = e^{-x}$.
On a $u'(x) = 2x + 1$ et $v'(x) = -e^{-x}$.
Ainsi, $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = (2x + 1)e^{-x} + (x^2 + x + 1)(-e^{-x})$.
$f'(x) = e^{-x} [(2x + 1) - (x^2 + x + 1)] = e^{-x} [2x + 1 - x^2 - x - 1]$.
$f'(x) = (-x^2 + x)e^{-x}$. La première partie est démontrée.
Calcul de $f''(x)$ :
La fonction $f'$ est de la forme $u(x)v(x)$ avec $u(x) = -x^2 + x$ et $v(x) = e^{-x}$.
On a $u'(x) = -2x + 1$ et $v'(x) = -e^{-x}$.
Ainsi, $f''(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = (-2x + 1)e^{-x} + (-x^2 + x)(-e^{-x})$.
$f''(x) = e^{-x} [(-2x + 1) - (-x^2 + x)] = e^{-x} [-2x + 1 + x^2 - x]$.
$f''(x) = (x^2 - 3x + 1)e^{-x}$. La deuxième partie est démontrée.
Étude de la convexité de $f$ et recherche des points d'inflexion :
La convexité de $f$ est donnée par le signe de $f''(x)$.
On a $f''(x) = (x^2 - 3x + 1)e^{-x}$.
Comme $e^{-x} > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, le signe de $f''(x)$ est celui du trinôme $x^2 - 3x + 1$.
Calculons le discriminant $\Delta$ de ce trinôme : $\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5$.
Les racines du trinôme sont $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.
Le trinôme $x^2 - 3x + 1$ est positif à l'extérieur de ses racines (car le coefficient de $x^2$ est $1 > 0$) et négatif entre ses racines.
On a donc :
- Si $x \in ]-\infty; \frac{3 - \sqrt{5}}{2}[ \cup ]\frac{3 + \sqrt{5}}{2}; +\infty[$, alors $f''(x) > 0$. Donc $f$ est convexe sur ces intervalles.
- Si $x \in ]\frac{3 - \sqrt{5}}{2}; \frac{3 + \sqrt{5}}{2}[$, alors $f''(x) < 0$. Donc $f$ est concave sur cet intervalle.
Les valeurs $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ et $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ sont des points où $f''(x)$ s'annule et change de signe. Il y a donc deux points d'inflexion.
Les coordonnées des points d'inflexion sont $(x_1, f(x_1))$ et $(x_2, f(x_2))$.
On peut donner des valeurs approchées : $\sqrt{5} \approx 2,236$.
$x_1 \approx \frac{3 - 2,236}{2} \approx \frac{0,764}{2} \approx 0,382$.
$x_2 \approx \frac{3 + 2,236}{2} \approx \frac{5,236}{2} \approx 2,618$.
Les points d'inflexion sont $(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}; f(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}))$ et $(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}; f(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}))$.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre convexité et concavité ?

Une fonction est convexe si sa courbe est 'tournée vers le haut' (au-dessus de ses tangentes), ce qui correspond à $f''(x) \geq 0$. Une fonction est concave si sa courbe est 'tournée vers le bas' (en dessous de ses tangentes), ce qui correspond à $f''(x) \leq 0$.

Peut-on déterminer la convexité sans calculer la dérivée seconde ?

Oui, il existe une définition de la convexité basée sur la position de la courbe par rapport à ses cordes (segment reliant deux points de la courbe). Une fonction est convexe si toutes ses cordes sont au-dessus de la courbe. Cependant, pour les exercices du BAC, l'étude du signe de la dérivée seconde $f''(x)$ est la méthode la plus courante et la plus efficace.

Qu'est-ce qu'un point d'inflexion ?

Un point d'inflexion est un point de la courbe où la fonction change de convexité, c'est-à-dire où elle passe de convexe à concave ou de concave à convexe. Graphiquement, la courbe traverse sa tangente en ce point. Cela se produit lorsque $f''(x)$ s'annule et change de signe.

Est-ce que $f''(x_0) = 0$ suffit pour qu'il y ait un point d'inflexion en $x_0$ ?

Non, ce n'est pas suffisant. Il est impératif que $f''(x)$ change de signe en $x_0$. Par exemple, pour $f(x) = x^4$, on a $f''(x) = 12x^2$. $f''(0) = 0$, mais $f''(x) \geq 0$ pour tout $x$, donc $f$ est toujours convexe et il n'y a pas de point d'inflexion en $x=0$.

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