Dérivation & Intégration · Fiche N°43 / 110

Extremums locaux et globaux sur un intervalle

Définition, méthode rigoureuse, exemples corrigés et exercice type BAC.

📚 Terminale Spécialité Maths ⏱ Lecture : 5 min ✅ Programme officiel BO 2019

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On dit que $f$ admet un maximum local en $x_0 \in I$ s'il existe un intervalle ouvert $J \subset I$ contenant $x_0$ tel que pour tout $x \in J$, $f(x) \leq f(x_0)$. On dit que $f$ admet un minimum local en $x_0 \in I$ s'il existe un intervalle ouvert $J \subset I$ contenant $x_0$ tel que pour tout $x \in J$, $f(x) \geq f(x_0)$. Un extremum local est un maximum local ou un minimum local. Un maximum global (ou absolu) sur $I$ est la plus grande valeur prise par $f$ sur $I$, c'est-à-dire $f(x_0)$ tel que pour tout $x \in I$, $f(x) \leq f(x_0)$. Un minimum global (ou absolu) sur $I$ est la plus petite valeur prise par $f$ sur $I$, c'est-à-dire $f(x_0)$ tel que pour tout $x \in I$, $f(x) \geq f(x_0)$.

💡 Bon réflexe : Toujours dresser un tableau de variations complet pour visualiser les changements de signe de la dérivée et les valeurs aux bornes de l'intervalle.
xyO√2−√22−2max localminminf′=0 + étude signe f′ → extremums

Méthode — Extremums locaux et globaux sur un intervalle

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1. Déterminer les points critiques

Pour trouver les extremums locaux d'une fonction $f$ dérivable sur un intervalle ouvert $I$, on commence par calculer sa dérivée $f'(x)$. Les points où la dérivée s'annule, c'est-à-dire les solutions de l'équation $f'(x) = 0$, sont appelés points critiques. Ces points sont des candidats potentiels pour des extremums locaux.

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2. Étudier le signe de la dérivée

On étudie le signe de $f'(x)$ autour de chaque point critique. Si $f'(x)$ change de signe en $x_0$:

  • Si $f'(x)$ passe de positif à négatif en $x_0$, alors $f$ admet un maximum local en $x_0$.
  • Si $f'(x)$ passe de négatif à positif en $x_0$, alors $f$ admet un minimum local en $x_0$.
Si $f'(x)$ ne change pas de signe en $x_0$, alors $x_0$ n'est pas un extremum local (c'est un point d'inflexion à tangente horizontale).

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3. Calculer les valeurs des extremums locaux

Pour chaque extremum local identifié en $x_0$, on calcule la valeur de la fonction $f(x_0)$. Ces valeurs sont les extremums locaux de $f$.

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4. Déterminer les extremums globaux (si demandés)

Pour trouver les extremums globaux sur un intervalle $I = [a, b]$ (fermé et borné), on compare les valeurs des extremums locaux trouvés à l'intérieur de $I$ avec les valeurs de la fonction aux bornes de l'intervalle, c'est-à-dire $f(a)$ et $f(b)$. Le plus grand de ces nombres est le maximum global, et le plus petit est le minimum global. Si l'intervalle n'est pas fermé et borné, il faut étudier les limites de $f$ aux bornes de l'intervalle.

Exemple résolu

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$. Déterminer les extremums locaux de $f$. Ensuite, déterminer les extremums globaux de $f$ sur l'intervalle $[-1, 3]$.

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1. Calculer la dérivée de $f$ et trouver les points critiques.
La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que fonction polynomiale. Sa dérivée est : $$f'(x) = 3x^2 - 6x$$ Pour trouver les points critiques, on résout $f'(x) = 0$: $$3x^2 - 6x = 0$$ $$3x(x - 2) = 0$$ Les points critiques sont $x = 0$ et $x = 2$.
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2. Étudier le signe de la dérivée pour déterminer la nature des points critiques.
On étudie le signe de $f'(x) = 3x(x - 2)$. C'est un polynôme du second degré dont les racines sont $0$ et $2$. Le coefficient dominant ($3$) est positif, donc la parabole est ouverte vers le haut.
  • Pour $x < 0$, $f'(x) > 0$ (la fonction $f$ est croissante).
  • Pour $0 < x < 2$, $f'(x) < 0$ (la fonction $f$ est décroissante).
  • Pour $x > 2$, $f'(x) > 0$ (la fonction $f$ est croissante).
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3. Identifier les extremums locaux et calculer leurs valeurs.
  • En $x = 0$, $f'(x)$ passe de positif à négatif. Donc $f$ admet un maximum local en $x = 0$. La valeur de ce maximum est $f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2$.
  • En $x = 2$, $f'(x)$ passe de négatif à positif. Donc $f$ admet un minimum local en $x = 2$. La valeur de ce minimum est $f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2$.
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4. Déterminer les extremums globaux sur l'intervalle $[-1, 3]$.
On compare les valeurs des extremums locaux à l'intérieur de l'intervalle $[-1, 3]$ avec les valeurs aux bornes de l'intervalle. Les points critiques $0$ et $2$ sont bien dans $[-1, 3]$.
  • $f(0) = 2$ (maximum local)
  • $f(2) = -2$ (minimum local)
On calcule les valeurs aux bornes :
  • $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 2 = -1 - 3 + 2 = -2$.
  • $f(3) = (3)^3 - 3(3)^2 + 2 = 27 - 27 + 2 = 2$.
Les valeurs à comparer sont $2$, $-2$, $-2$, $2$. Le maximum global est la plus grande de ces valeurs, soit $2$. Le minimum global est la plus petite de ces valeurs, soit $-2$.

La fonction $f$ admet un maximum local en $x=0$ de valeur $f(0)=2$ et un minimum local en $x=2$ de valeur $f(2)=-2$. Sur l'intervalle $[-1, 3]$, le maximum global de $f$ est $2$ (atteint en $x=0$ et $x=3$) et le minimum global de $f$ est $-2$ (atteint en $x=2$ et $x=-1$).

⚠️ Piège fréquent au BAC — Oubli des bornes de l'intervalle

  1. Oublier de considérer les valeurs de la fonction aux bornes de l'intervalle lors de la recherche des extremums globaux sur un intervalle fermé et borné. Les extremums globaux peuvent être atteints aux bornes et non aux points critiques intérieurs.
  2. Confondre un point critique ($f'(x_0)=0$) avec un extremum local. Un point critique n'est un extremum local que si la dérivée change de signe en ce point.
  3. Ne pas vérifier que la fonction est dérivable sur l'intervalle considéré avant d'appliquer la méthode basée sur la dérivée.

Exercice type BAC

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0, 4]$ par $f(x) = (x-1)e^{-x+2}$.

  1. Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$.
  2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0, 4]$ et en déduire le tableau de variations de $f$.
  3. Déterminer les extremums locaux et globaux de $f$ sur l'intervalle $[0, 4]$.

  1. Calcul de la dérivée $f'(x)$ :

    La fonction $f$ est de la forme $u(x)v(x)$ avec $u(x) = x-1$ et $v(x) = e^{-x+2}$.

    On a $u'(x) = 1$ et $v'(x) = -e^{-x+2}$.

    Donc $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 1 × e^{-x+2} + (x-1) × (-e^{-x+2})$.

    Factorisons par $e^{-x+2}$ :

    $$f'(x) = e^{-x+2} (1 - (x-1)) = e^{-x+2} (1 - x + 1) = e^{-x+2} (2 - x)$$

  2. Étude du signe de $f'(x)$ et tableau de variations :

    Le terme $e^{-x+2}$ est toujours strictement positif pour tout $x \in \mathbb{R}$.

    Le signe de $f'(x)$ est donc celui de $(2 - x)$.

    • Si $2 - x > 0$, c'est-à-dire $x < 2$, alors $f'(x) > 0$.
    • Si $2 - x < 0$, c'est-à-dire $x > 2$, alors $f'(x) < 0$.
    • Si $2 - x = 0$, c'est-à-dire $x = 2$, alors $f'(x) = 0$.

    On calcule les valeurs de $f$ aux points importants :

    • $f(0) = (0-1)e^{-0+2} = -e^2$.
    • $f(2) = (2-1)e^{-2+2} = 1 × e^0 = 1$.
    • $f(4) = (4-1)e^{-4+2} = 3e^{-2} = \frac{3}{e^2}$.

    Tableau de variations :

    $x$$0$$2$$4$
    Signe de $f'(x)$$+$$0$$-$
    Variations de $f$$-e^2$$\nearrow$$1$$\searrow$$\frac{3}{e^2}$

  3. Détermination des extremums locaux et globaux :

    • En $x=2$, $f'(x)$ change de signe de positif à négatif. Donc $f$ admet un maximum local en $x=2$. La valeur de ce maximum local est $f(2) = 1$.

    Pour les extremums globaux sur l'intervalle $[0, 4]$, on compare les valeurs $f(0)$, $f(2)$ et $f(4)$ :

    • $f(0) = -e^2 \approx -7,389$
    • $f(2) = 1$
    • $f(4) = \frac{3}{e^2} \approx 0,406$

    Le maximum global de $f$ sur $[0, 4]$ est la plus grande de ces valeurs, soit $1$, atteint en $x=2$.

    Le minimum global de $f$ sur $[0, 4]$ est la plus petite de ces valeurs, soit $-e^2$, atteint en $x=0$.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre un extremum local et un extremum global ?
Un extremum local est la valeur maximale ou minimale de la fonction dans un voisinage de ce point, tandis qu'un extremum global est la valeur maximale ou minimale de la fonction sur tout son domaine de définition (ou l'intervalle d'étude). Un extremum global est toujours un extremum local, mais l'inverse n'est pas toujours vrai.
Est-ce que tous les points où la dérivée s'annule sont des extremums locaux ?
Non. Un point où la dérivée s'annule ($f'(x_0)=0$) est un point critique. Pour qu'il soit un extremum local, il faut que la dérivée change de signe autour de ce point. Si $f'(x)$ ne change pas de signe (par exemple, $f'(x) \geq 0$ avant et après $x_0$), alors $x_0$ est un point d'inflexion à tangente horizontale, pas un extremum local. Par exemple, pour $f(x)=x^3$, $f'(0)=0$ mais $0$ n'est pas un extremum local.
Comment trouver les extremums globaux si l'intervalle n'est pas fermé et borné (par exemple, $]0, +\infty[$) ?
Dans ce cas, en plus des extremums locaux, il faut étudier les limites de la fonction aux bornes de l'intervalle. Si la fonction tend vers $+\infty$ ou $-\infty$, il n'y aura pas de maximum ou minimum global respectivement. Si la fonction tend vers une valeur finie, cette valeur peut être un majorant ou minorant, mais pas nécessairement un extremum si elle n'est pas atteinte.
Peut-on avoir des extremums locaux en des points où la fonction n'est pas dérivable ?
Oui, c'est possible. Par exemple, la fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ admet un minimum local (et global) en $x=0$, mais elle n'est pas dérivable en $x=0$. La méthode basée sur la dérivée s'applique aux fonctions dérivables. Pour les fonctions non dérivables, il faut étudier directement le comportement de la fonction autour de ces points.

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