Définition
Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$. Alors la fonction produit $u × v$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est donnée par la formule $(u × v)' = u'v + uv'$. Si de plus la fonction $v$ ne s'annule pas sur $I$, alors la fonction quotient $\frac{u}{v}$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est donnée par la formule $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Méthode — Dérivée d\'un produit et d\'un quotient (approfondissement)
Identifier la structure de la fonction
Déterminer si la fonction à dériver est un produit de deux fonctions $u(x) × v(x)$ ou un quotient de deux fonctions $\frac{u(x)}{v(x)}$. Identifier clairement les fonctions $u(x)$ et $v(x)$.
Calculer les dérivées des fonctions composantes
Calculer les dérivées $u'(x)$ et $v'(x)$ de chaque fonction $u(x)$ et $v(x)$ séparément. S'assurer que ces fonctions sont bien dérivables sur l'intervalle considéré.
Appliquer la formule de dérivation appropriée
Si la fonction est un produit, utiliser la formule $(u × v)' = u'v + uv'$. Si la fonction est un quotient, utiliser la formule $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Dans le cas du quotient, vérifier que $v(x) \neq 0$ sur l'intervalle de dérivation.
Simplifier l'expression obtenue
Développer et réduire l'expression de la dérivée autant que possible. Factoriser si cela permet une simplification ou une meilleure analyse du signe de la dérivée.
Exemple résolu
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ par $f(x) = \frac{(2x+1)e^x}{x-1}$. Déterminer l'expression de sa dérivée $f'(x)$.
La dérivée de la fonction $f(x) = \frac{(2x+1)e^x}{x-1}$ est $f'(x) = \frac{e^x(2x^2 - x - 4)}{(x-1)^2}$.
⚠️ Erreurs courantes dans les formules de dérivation
- Confondre la formule du produit $(u × v)' = u'v + uv'$ avec une simple multiplication des dérivées $(u'v')$.
- Oublier le signe moins dans la formule du quotient : $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ (le numérateur est $u'v - uv'$, pas $uv' - u'v$).
- Oublier de mettre le dénominateur au carré dans la formule du quotient : $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ (le dénominateur est $v^2$, pas $v$).
- Ne pas simplifier suffisamment l'expression de la dérivée, ce qui peut compliquer l'étude de son signe.
Exercice type BAC
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = \frac{\ln(x)}{x^2}$.
- Montrer que pour tout $x \in ]0 ; +\infty[$, $f'(x) = \frac{1 - 2\ln(x)}{x^3}$.
- Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]0 ; +\infty[$ et en déduire le tableau de variations de $f$.
- Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x_0 = 1$.
La fonction $f(x) = \frac{\ln(x)}{x^2}$ est de la forme $\frac{u(x)}{v(x)}$ avec $u(x) = \ln(x)$ et $v(x) = x^2$.
Calculons les dérivées de $u$ et $v$ :
- $u'(x) = \frac{1}{x}$
- $v'(x) = 2x$
Appliquons la formule de dérivation d'un quotient : $f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$.
$$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} × x^2 - \ln(x) × 2x}{(x^2)^2}$$
$$f'(x) = \frac{x - 2x\ln(x)}{x^4}$$
Factorisons $x$ au numérateur :
$$f'(x) = \frac{x(1 - 2\ln(x))}{x^4}$$
Simplifions par $x$ (puisque $x \neq 0$ sur l'intervalle de définition) :
$$f'(x) = \frac{1 - 2\ln(x)}{x^3}$$
Ainsi, pour tout $x \in ]0 ; +\infty[$, $f'(x) = \frac{1 - 2\ln(x)}{x^3}$.
Pour étudier le signe de $f'(x)$, nous devons étudier le signe du numérateur et du dénominateur.
- Le dénominateur $x^3$ est strictement positif pour tout $x \in ]0 ; +\infty[$.
- Le signe de $f'(x)$ est donc celui de $1 - 2\ln(x)$.
Résolvons $1 - 2\ln(x) > 0$ :
$$1 > 2\ln(x)$$
$$\frac{1}{2} > \ln(x)$$
$$e^{1/2} > x$$
$$x < \sqrt{e}$$
De même, $1 - 2\ln(x) < 0 \iff x > \sqrt{e}$ et $1 - 2\ln(x) = 0 \iff x = \sqrt{e}$.
On a $\sqrt{e} \approx 1,65$.
Tableau de variations :
| $x$ | $0$ | $\sqrt{e}$ | $+\infty$ |
|---|---|---|---|
| $1 - 2\ln(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ |
| $x^3$ | $+$ | $+$ | $+$ |
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ |
| $f(x)$ | | $\nearrow$ | $f(\sqrt{e})$ | $\searrow$ |
Calculons $f(\sqrt{e})$ :
$$f(\sqrt{e}) = \frac{\ln(\sqrt{e})}{(\sqrt{e})^2} = \frac{\ln(e^{1/2})}{e} = \frac{1/2}{e} = \frac{1}{2e}$$
Les limites aux bornes :
- $\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{x^2} = -\infty$ (car $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to 0^+} x^2 = 0^+$)
- $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^2} = 0$ (par croissances comparées, $\ln(x)$ croît moins vite que $x^2$)
Tableau de variations final :
| $x$ | $0$ | $\sqrt{e}$ | $+\infty$ |
|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ |
| $f(x)$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $\frac{1}{2e}$ | $\searrow$ | $0$ |
L'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x_0 = 1$ est donnée par la formule $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$.
Calculons $f(1)$ :
$$f(1) = \frac{\ln(1)}{1^2} = \frac{0}{1} = 0$$
Calculons $f'(1)$ :
$$f'(1) = \frac{1 - 2\ln(1)}{1^3} = \frac{1 - 2 × 0}{1} = 1$$
Substituons ces valeurs dans l'équation de la tangente :
$$y = 1(x - 1) + 0$$
$$y = x - 1$$
L'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x_0 = 1$ est $y = x - 1$.
Questions fréquentes
Quand faut-il utiliser la formule de dérivation d'un produit ou d'un quotient ?
Est-ce que l'ordre des termes est important dans la formule du produit ?
Est-ce que l'ordre des termes est important dans la formule du quotient ?
Que faire si la fonction est une combinaison de produits et de quotients ?
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