Définition
Pour une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$, le signe de sa dérivée $f'$ sur $I$ détermine les variations de $f$. Plus précisément, si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, alors $f$ est strictement croissante sur cet intervalle. Si $f'(x) < 0$ sur un intervalle, alors $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle. Si $f'(x) = 0$ sur un intervalle, alors $f$ est constante sur cet intervalle. Les valeurs de $x$ pour lesquelles $f'(x) = 0$ (ou n'est pas définie) sont appelées valeurs critiques et marquent un changement potentiel de variation.
Méthode — Tableau de signe de f'(x) et tableau de variations
Étape 1 : Déterminer l'ensemble de définition et de dérivabilité de $f$
Avant de commencer, il est essentiel de connaître l'intervalle sur lequel la fonction $f$ est définie et dérivable. Cela permet de savoir sur quel domaine on va étudier le signe de $f'(x)$.
Étape 2 : Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$
Utiliser les règles de dérivation (dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient, d'une fonction composée, etc.) pour calculer l'expression de $f'(x)$. Simplifier cette expression autant que possible pour faciliter l'étude de son signe.
Étape 3 : Étudier le signe de $f'(x)$
Résoudre l'inéquation $f'(x) > 0$ et $f'(x) < 0$. Identifier les valeurs de $x$ pour lesquelles $f'(x) = 0$. Ces valeurs sont les racines de $f'(x)$ et sont cruciales pour construire le tableau de signes. Si $f'(x)$ est un polynôme, on peut utiliser les propriétés des polynômes (racines, signe du coefficient dominant). Si $f'(x)$ est un quotient, étudier le signe du numérateur et du dénominateur séparément.
Étape 4 : Construire le tableau de variations de $f$
Organiser les informations dans un tableau à trois lignes :
1. La première ligne contient les valeurs de $x$ (avec les bornes de l'intervalle d'étude et les valeurs critiques où $f'(x)$ s'annule ou n'est pas définie).
2. La deuxième ligne indique le signe de $f'(x)$ sur chaque intervalle.
3. La troisième ligne représente les variations de $f$ (flèche montante pour 'croissante', flèche descendante pour 'décroissante').
Calculer les valeurs de $f(x)$ aux bornes de l'intervalle d'étude et aux points où $f'(x)=0$ (extremums locaux) pour compléter le tableau.
Exemple résolu
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$. Établir le tableau de variations de $f$.
$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(9x) + \frac{d}{dx}(5)$$
$$f'(x) = 3x^2 - 3 × (2x) - 9 × 1 + 0$$
$$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$$
Calcul du discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 × 1 × (-3) = 4 + 12 = 16$.
Les racines sont $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 × 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1$.
Et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 × 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$.
Puisque le coefficient dominant de $f'(x)$ ($3x^2$) est $3 > 0$, $f'(x)$ est positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines.
$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 5 = -1 - 3 + 9 + 5 = 10$.
$f(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 5 = 27 - 27 - 27 + 5 = -22$.
On a aussi les limites aux bornes de l'intervalle :
$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$.
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} x^3 = +\infty$.
Le tableau de variations est le suivant :
| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $3$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| Variations de $f$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $10$ | $\searrow$ | $-22$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |
La fonction $f$ est strictement croissante sur $]-\infty; -1]$, strictement décroissante sur $[-1; 3]$, et strictement croissante sur $[3; +\infty[$. Elle admet un maximum local en $x=-1$ de valeur $f(-1)=10$ et un minimum local en $x=3$ de valeur $f(3)=-22$.
⚠️ Piège fréquent au BAC — Oubli des bornes et des valeurs aux extremums
- Ne pas oublier de calculer les limites aux bornes de l'ensemble de définition ou les valeurs de la fonction aux points où la dérivée s'annule pour compléter le tableau de variations.
- Confondre le signe de $f(x)$ et le signe de $f'(x)$. Le signe de $f(x)$ donne la position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses, tandis que le signe de $f'(x)$ donne les variations de $f$.
- Faire des erreurs de calcul lors de la dérivation ou lors de la résolution de l'équation $f'(x)=0$, ce qui fausse tout le tableau.
Exercice type BAC
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x-1)e^{-x}$.
- Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$.
- Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$.
- En déduire le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Calcul de la dérivée $f'(x)$ :
La fonction $f$ est de la forme $u(x)v(x)$ avec $u(x) = 2x-1$ et $v(x) = e^{-x}$.
On a $u'(x) = 2$ et $v'(x) = -e^{-x}$.
La formule de dérivation d'un produit est $(uv)' = u'v + uv'$.
Ainsi, $f'(x) = 2e^{-x} + (2x-1)(-e^{-x})$
$f'(x) = e^{-x}(2 - (2x-1))$
$f'(x) = e^{-x}(2 - 2x + 1)$
$f'(x) = e^{-x}(3 - 2x)$
Étude du signe de $f'(x)$ :
Pour étudier le signe de $f'(x) = e^{-x}(3 - 2x)$, on doit étudier le signe de chaque facteur.
- Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^{-x} > 0$.
- Le signe de $f'(x)$ dépend donc uniquement du signe de $(3 - 2x)$.
On résout $3 - 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = 3 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$.
On résout $3 - 2x > 0 \Leftrightarrow 3 > 2x \Leftrightarrow x < \frac{3}{2}$.
On résout $3 - 2x < 0 \Leftrightarrow 3 < 2x \Leftrightarrow x > \frac{3}{2}$.
Donc, $f'(x) > 0$ pour $x < \frac{3}{2}$, $f'(x) = 0$ pour $x = \frac{3}{2}$, et $f'(x) < 0$ pour $x > \frac{3}{2}$.
Tableau de variations de $f$ :
Calculons la valeur de $f$ en $x = \frac{3}{2}$ :
$f\left(\frac{3}{2}\right) = \left(2 × \frac{3}{2} - 1\right)e^{-\frac{3}{2}} = (3 - 1)e^{-\frac{3}{2}} = 2e^{-\frac{3}{2}}$.
Calculons les limites aux bornes de l'intervalle :
- $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (2x-1)e^{-x}$. On a $\lim_{x \to -\infty} (2x-1) = -\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} e^{-x} = +\infty$. Le produit est de la forme $(-\infty) × (+\infty)$, donc $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.
- $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (2x-1)e^{-x}$. C'est une forme indéterminée de type $\infty × 0$. On peut réécrire $f(x) = \frac{2x-1}{e^x} = \frac{2x}{e^x} - \frac{1}{e^x}$.
On sait que $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$, donc $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0$. Par conséquent, $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^x} = 0$.
De plus, $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^x} = 0$.
Donc, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 - 0 = 0$.
Le tableau de variations est le suivant :
$x$ $-\infty$ $\frac{3}{2}$ $+\infty$ Signe de $f'(x)$ $+$ $0$ $-$ Variations de $f$ $-\infty$ $\nearrow$ $2e^{-\frac{3}{2}}$ $\searrow$ $0$
Questions fréquentes
Pourquoi $f'(x)=0$ indique un extremum local ?
Comment gérer les fonctions non définies sur $\mathbb{R}$ ?
Est-ce que $f'(x)$ peut être nulle sans qu'il y ait un extremum ?
Faut-il toujours calculer les limites aux bornes de l'intervalle ?
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