Équations différentielles y' = ay : solution générale – Fiche BAC Terminale Maths

Définition

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction et qui fait intervenir cette fonction et certaines de ses dérivées. L'équation différentielle linéaire du premier ordre sans second membre $y' = ay$, où $a$ est un nombre réel fixé et $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ dérivable sur un intervalle $I$, a pour ensemble de solutions les fonctions $f$ définies sur $I$ par $f(x) = C e^{ax}$, où $C$ est une constante réelle quelconque.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier le signe du coefficient $a$ et ne jamais oublier la constante $C$ dans la solution générale.

Méthode — Équations différentielles $y\' = ay$ : solution générale

Identifier le type d'équation différentielle

Vérifier que l'équation est de la forme $y' = ay$. Le coefficient $a$ doit être un nombre réel constant. La fonction $y$ est une fonction de la variable $x$, et $y'$ est sa dérivée par rapport à $x$.

Appliquer la formule de la solution générale

La solution générale de l'équation différentielle $y' = ay$ est donnée par $y(x) = C e^{ax}$, où $C$ est une constante réelle arbitraire. Il suffit de substituer la valeur de $a$ dans cette formule.

Déterminer la constante $C$ (si une condition initiale est donnée)

Si l'énoncé fournit une condition initiale, par exemple $y(x_0) = y_0$, alors il faut utiliser cette condition pour trouver la valeur spécifique de la constante $C$. On remplace $x$ par $x_0$ et $y(x)$ par $y_0$ dans la solution générale, puis on résout l'équation pour $C$. $$y_0 = C e^{ax_0} \ C = \frac{y_0}{e^{ax_0}} = y_0 e^{-ax_0}$$

Écrire la solution particulière (si $C$ a été déterminée)

Une fois la constante $C$ déterminée, on la substitue dans la solution générale pour obtenir la solution particulière qui satisfait la condition initiale donnée. Cette solution est unique.

Exemple résolu

On considère l'équation différentielle $(E): y' = -2y$. Déterminer la solution générale de $(E)$, puis la solution particulière $f$ de $(E)$ qui vérifie $f(0) = 3$.

Identifier le type d'équation différentielle et le coefficient $a$

L'équation donnée est $y' = -2y$. Elle est bien de la forme $y' = ay$ avec $a = -2$.

Appliquer la formule de la solution générale

La solution générale de l'équation différentielle $y' = ay$ est $y(x) = C e^{ax}$. En remplaçant $a$ par $-2$, on obtient la solution générale de $(E)$: $$y(x) = C e^{-2x}$$ où $C$ est une constante réelle quelconque.

Déterminer la constante $C$ à l'aide de la condition initiale

On nous donne la condition initiale $f(0) = 3$. On substitue $x=0$ et $y(0)=3$ dans la solution générale: $$3 = C e^{-2 × 0} \ 3 = C e^0 \ 3 = C × 1 \ C = 3$$

Écrire la solution particulière

En remplaçant $C$ par $3$ dans la solution générale, on obtient la solution particulière $f(x)$ qui satisfait la condition initiale: $$f(x) = 3 e^{-2x}$$

La solution générale de l'équation différentielle $y' = -2y$ est $y(x) = C e^{-2x}$. La solution particulière qui vérifie $f(0) = 3$ est $f(x) = 3 e^{-2x}$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Oubli de la constante C ou erreur de signe

Oublier la constante $C$ dans la solution générale, ce qui conduit à une solution particulière au lieu de l'ensemble des solutions.
Faire une erreur de signe pour le coefficient $a$ lors de l'application de la formule $e^{ax}$. Par exemple, si l'équation est $y' = -3y$, $a = -3$, donc la solution est $C e^{-3x}$, et non $C e^{3x}$.
Confondre $y' = ay$ avec d'autres types d'équations différentielles (par exemple, avec un second membre $y' = ay + b(x)$) et appliquer la mauvaise formule.

Exercice type BAC

Un circuit électrique est modélisé par l'intensité $I(t)$ du courant en ampères (A) à l'instant $t$ en secondes (s). L'évolution de l'intensité est régie par l'équation différentielle $(E): L I'(t) + R I(t) = 0$, où $L$ est l'inductance (en Henry, H) et $R$ est la résistance (en Ohm, $\Omega$).

On donne $L = 0,5$ H et $R = 10 \Omega$.

Montrer que l'équation différentielle $(E)$ peut se réécrire sous la forme $I'(t) = a I(t)$, en précisant la valeur de $a$.
Déterminer la solution générale de l'équation différentielle $(E)$.
Sachant qu'à l'instant $t=0$, l'intensité du courant est de $2$ A (c'est-à-dire $I(0) = 2$), déterminer l'expression de $I(t)$ en fonction de $t$.

L'équation différentielle donnée est $L I'(t) + R I(t) = 0$.
On substitue les valeurs de $L$ et $R$: $0,5 I'(t) + 10 I(t) = 0$.
Pour la mettre sous la forme $I'(t) = a I(t)$, on isole $I'(t)$:
$$0,5 I'(t) = -10 I(t)$$
On divise par $0,5$ (ou on multiplie par $2$):
$$I'(t) = \frac{-10}{0,5} I(t)$$ $$I'(t) = -20 I(t)$$
L'équation est bien de la forme $I'(t) = a I(t)$ avec $a = -20$.
L'équation différentielle est de la forme $y' = ay$ avec $a = -20$.
La solution générale est donc $I(t) = C e^{at}$, soit:
$$I(t) = C e^{-20t}$$
où $C$ est une constante réelle quelconque.
On nous donne la condition initiale $I(0) = 2$.
On utilise la solution générale trouvée à la question précédente et on substitue $t=0$ et $I(0)=2$:
$$2 = C e^{-20 × 0}$$ $$2 = C e^0$$ $$2 = C × 1$$ $$C = 2$$
En remplaçant $C$ par $2$ dans la solution générale, on obtient l'expression de $I(t)$:
$$I(t) = 2 e^{-20t}$$

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction et qui fait intervenir cette fonction et ses dérivées. Par exemple, $y' = 2y$ est une équation différentielle où $y$ est la fonction inconnue et $y'$ est sa dérivée.

Pourquoi la solution générale contient-elle une constante $C$ ?

La constante $C$ apparaît car la dérivation "perd" de l'information. Par exemple, la dérivée de $f(x) = x^2 + C$ est toujours $f'(x) = 2x$, quelle que soit la valeur de $C$. Pour une équation différentielle du premier ordre, il y a une infinité de solutions, toutes différant par une constante additive après intégration. La constante $C$ représente cette famille de solutions.

Comment vérifier ma solution ?

Pour vérifier une solution $y(x) = C e^{ax}$, il suffit de la dériver et de la substituer dans l'équation différentielle. Si $y(x) = C e^{ax}$, alors $y'(x) = C × a e^{ax} = a (C e^{ax}) = a y(x)$. L'équation $y' = ay$ est donc satisfaite.

Cette formule s'applique-t-elle si l'équation est $y' + ay = 0$ ?

Oui, absolument. L'équation $y' + ay = 0$ est équivalente à $y' = -ay$. Dans ce cas, le coefficient $a$ de la formule $y' = ay$ serait $-a$. Donc, la solution serait $y(x) = C e^{-ax}$.

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