Dérivation & Intégration · Fiche N°52 / 110

L\'intégrale définie $\int_a^b f(t)\,dt$ : définition et calcul

Définition, méthode rigoureuse, exemples corrigés et exercice type BAC.

📚 Terminale Spécialité Maths ⏱ Lecture : 5 min ✅ Programme officiel BO 2019

Définition

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$. L'intégrale de $f$ sur $[a;b]$, notée $\int_a^b f(x)\,dx$, est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$. Si $f$ est continue et négative sur $[a;b]$, alors $\int_a^b f(x)\,dx$ est l'opposé de l'aire du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier la continuité de la fonction et le signe de l'intégrande pour une interprétation géométrique correcte de l'intégrale.
xyOab∫ₐᵇ f(x) dx= aire algébrique

Méthode — L\'intégrale définie $\int_a^b f(t)\,dt$ : définition et calcul

1

Étape 1 : Vérifier la continuité de la fonction

Pour qu'une intégrale soit bien définie, la fonction $f$ doit être continue sur l'intervalle d'intégration $[a;b]$. Les fonctions usuelles (polynômes, exponentielles, logarithmes, trigonométriques) sont continues sur leur domaine de définition. En cas de fonction définie par morceaux, vérifier la continuité aux points de raccordement.

2

Étape 2 : Déterminer une primitive de la fonction

Pour calculer $\int_a^b f(x)\,dx$, il faut trouver une primitive $F$ de $f$ sur l'intervalle $[a;b]$. Une primitive $F$ est une fonction telle que $F'(x) = f(x)$. Il existe une infinité de primitives pour une fonction donnée, mais n'importe laquelle convient pour le calcul de l'intégrale définie. Les formules de dérivation inversées sont utiles ici.

3

Étape 3 : Appliquer le Théorème Fondamental de l'Analyse (Théorème de Newton-Leibniz)

Le théorème fondamental de l'analyse stipule que si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a;b]$, alors $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$. On note souvent cette différence $[F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$. Il est crucial de calculer $F(b)$ et $F(a)$ correctement et de faire la soustraction dans le bon ordre.

4

Étape 4 : Interpréter le résultat (si demandé)

Si la fonction $f$ est positive sur $[a;b]$, le résultat de l'intégrale est l'aire sous la courbe en unités d'aire. Si $f$ est négative, le résultat est négatif et représente l'opposé de l'aire. Si $f$ change de signe sur l'intervalle, l'intégrale représente une somme algébrique d'aires. Dans ce cas, pour obtenir l'aire totale, il faut découper l'intégrale en plusieurs parties où la fonction garde un signe constant et prendre la valeur absolue de chaque partie.

Exemple résolu

Calculer l'intégrale $\int_1^3 (x^2 - 2x + 1)\,dx$ et interpréter géométriquement le résultat.

1
Vérifier la continuité de la fonction.
La fonction $f(x) = x^2 - 2x + 1$ est une fonction polynomiale. Elle est donc continue sur $\mathbb{R}$, et en particulier sur l'intervalle $[1;3]$.
2
Déterminer une primitive de la fonction.
Nous cherchons une primitive $F(x)$ de $f(x) = x^2 - 2x + 1$.
Une primitive de $x^2$ est $\frac{x^3}{3}$.
Une primitive de $-2x$ est $-2 \times \frac{x^2}{2} = -x^2$.
Une primitive de $1$ est $x$.
Donc, une primitive de $f(x)$ est $F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + x$.
3
Appliquer le Théorème Fondamental de l'Analyse.
Nous calculons $F(3) - F(1)$.
$F(3) = \frac{3^3}{3} - 3^2 + 3 = \frac{27}{3} - 9 + 3 = 9 - 9 + 3 = 3$.
$F(1) = \frac{1^3}{3} - 1^2 + 1 = \frac{1}{3} - 1 + 1 = \frac{1}{3}$.
$\int_1^3 (x^2 - 2x + 1)\,dx = F(3) - F(1) = 3 - \frac{1}{3} = \frac{9}{3} - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$.
4
Interpréter le résultat géométriquement.
La fonction $f(x) = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.
Sur l'intervalle $[1;3]$, $f(x) = (x-1)^2 \geq 0$.
L'intégrale $\int_1^3 (x^2 - 2x + 1)\,dx = \frac{8}{3}$ représente l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe d'équation $y = (x-1)^2$, l'axe des abscisses et les droites verticales $x=1$ et $x=3$. Cette aire est de $\frac{8}{3}$ unités d'aire.

L'intégrale $\int_1^3 (x^2 - 2x + 1)\,dx$ est égale à $\frac{8}{3}$. Géométriquement, cela représente l'aire sous la courbe de la fonction $f(x) = (x-1)^2$ entre $x=1$ et $x=3$, qui est de $\frac{8}{3}$ unités d'aire.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Erreurs de signe et d'ordre

  1. Oublier le signe moins lors de la soustraction $F(b) - F(a)$ ou inverser l'ordre des termes, ce qui conduit à un résultat de signe opposé.
  2. Ne pas prendre en compte le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle pour l'interprétation géométrique de l'intégrale (l'intégrale n'est pas toujours une aire positive).
  3. Faire des erreurs de calcul lors de la détermination de la primitive ou lors de l'évaluation de $F(b)$ et $F(a)$.
  4. Confondre la recherche d'une primitive avec la recherche d'une dérivée.

Exercice type BAC

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

  1. Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
  2. Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I = \int_0^2 f(x)\,dx$.
  3. Interpréter géométriquement le résultat obtenu à la question 2.

  1. La fonction $f(x) = x^2 - 4x + 3$ est une fonction polynomiale, donc elle est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$.

    Pour trouver une primitive $F(x)$ de $f(x)$, on utilise les règles d'intégration :

    • Une primitive de $x^2$ est $\frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}$.
    • Une primitive de $-4x$ est $-4 \times \frac{x^{1+1}}{1+1} = -4 \times \frac{x^2}{2} = -2x^2$.
    • Une primitive de $3$ est $3x$.

    Donc, une primitive $F(x)$ de $f(x)$ est $F(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x$. (On peut ajouter une constante $C$, mais pour le calcul d'intégrale définie, elle s'annule).

  2. Pour calculer $I = \int_0^2 f(x)\,dx$, on utilise le Théorème Fondamental de l'Analyse : $I = F(2) - F(0)$.

    Calculons $F(2)$ :
    $F(2) = \frac{2^3}{3} - 2(2^2) + 3(2) = \frac{8}{3} - 2(4) + 6 = \frac{8}{3} - 8 + 6 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{8}{3} - \frac{6}{3} = \frac{2}{3}$.

    Calculons $F(0)$ :
    $F(0) = \frac{0^3}{3} - 2(0^2) + 3(0) = 0 - 0 + 0 = 0$.

    Donc, $I = F(2) - F(0) = \frac{2}{3} - 0 = \frac{2}{3}$.

    La valeur exacte de l'intégrale est $I = \frac{2}{3}$.

  3. Pour interpréter géométriquement le résultat, nous devons étudier le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $[0;2]$.

    La fonction $f(x) = x^2 - 4x + 3$ est un trinôme du second degré. Cherchons ses racines :
    $x^2 - 4x + 3 = 0$
    Le discriminant est $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4$.
    Les racines sont $x_1 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4 - 2}{2} = 1$ et $x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{4 + 2}{2} = 3$.

    Puisque le coefficient de $x^2$ est positif ($1 > 0$), la parabole est tournée vers le haut. Ainsi, $f(x)$ est positive à l'extérieur des racines et négative entre les racines.

    • Sur $]-\infty; 1]$, $f(x) \geq 0$.
    • Sur $[1; 3]$, $f(x) \leq 0$.
    • Sur $[3; +\infty[$, $f(x) \geq 0$.

    L'intervalle d'intégration est $[0;2]$. Sur cet intervalle, la fonction $f(x)$ change de signe :

    • Sur $[0;1]$, $f(x) \geq 0$.
    • Sur $[1;2]$, $f(x) \leq 0$.

    L'intégrale $I = \int_0^2 f(x)\,dx = \frac{2}{3}$ représente la somme algébrique des aires. Plus précisément, c'est l'aire du domaine situé au-dessus de l'axe des abscisses sur $[0;1]$ moins l'aire du domaine situé en dessous de l'axe des abscisses sur $[1;2]$.

    Soit $A_1$ l'aire sous la courbe sur $[0;1]$ et $A_2$ l'aire sous la courbe sur $[1;2]$.
    $A_1 = \int_0^1 f(x)\,dx = [F(x)]_0^1 = F(1) - F(0) = (\frac{1^3}{3} - 2(1^2) + 3(1)) - 0 = \frac{1}{3} - 2 + 3 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$.
    $A_2 = \int_1^2 f(x)\,dx = [F(x)]_1^2 = F(2) - F(1) = \frac{2}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{2}{3}$.

    Le résultat $I = \frac{2}{3}$ signifie que $A_1 + A_2 = \frac{4}{3} + (-\frac{2}{3}) = \frac{2}{3}$.
    Géométriquement, l'intégrale représente la différence entre l'aire du domaine situé au-dessus de l'axe des abscisses pour $x \in [0;1]$ et l'aire du domaine situé en dessous de l'axe des abscisses pour $x \in [1;2]$.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une primitive et une intégrale ?
Une primitive $F(x)$ d'une fonction $f(x)$ est une fonction dont la dérivée est $f(x)$, c'est-à-dire $F'(x) = f(x)$. Il y a une infinité de primitives pour une fonction donnée (elles diffèrent par une constante). Une intégrale définie $\int_a^b f(x)\,dx$ est un nombre réel qui représente l'aire algébrique sous la courbe de $f$ entre $a$ et $b$. Elle est calculée à l'aide d'une primitive : $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
Peut-on calculer l'intégrale d'une fonction qui n'est pas continue ?
Au niveau du programme de Terminale Spécialité, on ne calcule des intégrales que pour des fonctions continues sur l'intervalle d'intégration. La continuité est une condition essentielle pour l'existence de l'intégrale définie telle que nous la manipulons. Pour des fonctions non continues, la notion d'intégrale devient plus complexe (intégrales généralisées, intégrales de Lebesgue, etc.) et dépasse le cadre du programme.
Que signifie une intégrale négative ?
Si $\int_a^b f(x)\,dx < 0$, cela signifie que la "majorité" de la courbe de $f$ sur l'intervalle $[a;b]$ est située en dessous de l'axe des abscisses. Plus précisément, si $f(x) \leq 0$ sur tout l'intervalle $[a;b]$, alors l'intégrale est l'opposé de l'aire du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x=a$ et $x=b$. Si la fonction change de signe, l'intégrale représente une somme algébrique d'aires.
Comment calculer l'aire totale si la fonction change de signe ?
Si la fonction $f$ change de signe sur $[a;b]$, pour calculer l'aire totale (géométrique) entre la courbe et l'axe des abscisses, il faut d'abord trouver les points où $f(x)=0$ sur l'intervalle $[a;b]$. Ensuite, on découpe l'intégrale en plusieurs intégrales sur des sous-intervalles où $f$ garde un signe constant. On calcule chaque intégrale, puis on prend la valeur absolue de chaque résultat avant de les additionner. Par exemple, si $f(x)$ est positive sur $[a;c]$ et négative sur $[c;b]$, l'aire totale est $\int_a^c f(x)\,dx + |\int_c^b f(x)\,dx|$.

Pour aller plus loin

Vous bloquez sur ce chapitre ?

Adil accompagne les lycéens en Terminale Spécialité, en ligne ou à domicile dans le Val d'Oise. Résultats en 1 séance.

📞 Appeler Cours Terminale →