Définition
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$.
La valeur moyenne de $f$ sur $[a, b]$ est le nombre réel $\mu$ défini par la formule :
$$ \mu = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,dx $$La relation de Chasles pour les intégrales stipule que pour une fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et pour tous réels $a, b, c$ appartenant à $I$, on a :
$$ \int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx $$Méthode — Relation de Chasles et valeur moyenne d\'une fonction
Calculer une intégrale
Pour calculer $\int_a^b f(x)\,dx$, on cherche une primitive $F$ de $f$ sur $[a, b]$. L'intégrale est alors donnée par $F(b) - F(a)$. Il est crucial de bien identifier les bornes d'intégration et de trouver la bonne primitive.
Appliquer la relation de Chasles
Si l'intervalle d'intégration est décomposé en sous-intervalles (par exemple, si la fonction $f$ est définie par morceaux ou si l'on souhaite séparer le calcul en plusieurs parties), la relation de Chasles permet de sommer les intégrales sur chaque sous-intervalle. Par exemple, pour calculer $\int_a^c f(x)\,dx$, on peut choisir un point $b$ entre $a$ et $c$ et calculer $\int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx$.
Calculer la valeur moyenne
Une fois l'intégrale $\int_a^b f(x)\,dx$ calculée, on divise ce résultat par la longueur de l'intervalle, soit $(b-a)$. La valeur moyenne $\mu = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,dx$ représente la hauteur d'un rectangle de base $(b-a)$ ayant la même aire que la surface sous la courbe de $f$ sur $[a, b]$.
Interpréter le résultat
La valeur moyenne $\mu$ est une valeur 'représentative' de la fonction sur l'intervalle. Le théorème de la moyenne (ou de la valeur intermédiaire pour les intégrales) garantit que si $f$ est continue sur $[a, b]$, il existe au moins un réel $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = \mu$. Cela signifie que la fonction atteint sa valeur moyenne.
Exemple résolu
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 - 2x + 3$. On souhaite calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[0, 3]$.
La valeur moyenne de la fonction $f(x) = x^2 - 2x + 3$ sur l'intervalle $[0, 3]$ est $\boxed{3}$.
⚠️ Piège fréquent au BAC — Oubli du facteur $1/(b-a)$
- Oublier de diviser l'intégrale par la longueur de l'intervalle $(b-a)$ lors du calcul de la valeur moyenne. C'est une erreur très courante.
- Erreur de signe lors de l'application de $F(b) - F(a)$, surtout avec des bornes négatives ou des primitives complexes.
- Ne pas vérifier la continuité de la fonction sur l'intervalle avant d'appliquer les théorèmes (bien que la plupart des fonctions données au BAC soient continues).
- Confondre la valeur moyenne avec la moyenne arithmétique de quelques points de la fonction.
Exercice type BAC
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{2x} - e^x$.
- Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I = \int_0^{\ln(2)} f(x)\,dx$.
- En déduire la valeur moyenne $\mu$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0, \ln(2)]$.
- On admet que la fonction $f$ est croissante sur $[0, \ln(2)]$. Justifier qu'il existe un unique réel $c \in [0, \ln(2)]$ tel que $f(c) = \mu$.
Calcul de l'intégrale $I = \int_0^{\ln(2)} f(x)\,dx$ :
La fonction $f(x) = e^{2x} - e^x$ est continue sur $\mathbb{R}$, donc sur $[0, \ln(2)]$.
Cherchons une primitive $F(x)$ de $f(x)$.
Une primitive de $e^{2x}$ est $\frac{1}{2}e^{2x}$.
Une primitive de $e^x$ est $e^x$.
Donc, une primitive de $f(x)$ est $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} - e^x$.
Calculons $I = F(\ln(2)) - F(0)$ :
$$ F(\ln(2)) = \frac{1}{2}e^{2\ln(2)} - e^{\ln(2)} = \frac{1}{2}e^{\ln(2^2)} - 2 = \frac{1}{2}e^{\ln(4)} - 2 = \frac{1}{2} \times 4 - 2 = 2 - 2 = 0 $$$$ F(0) = \frac{1}{2}e^{2 \times 0} - e^0 = \frac{1}{2}e^0 - 1 = \frac{1}{2} \times 1 - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} $$Ainsi :
$$ I = 0 - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} $$L'intégrale $I$ est égale à $\frac{1}{2}$.
Déduction de la valeur moyenne $\mu$ :
La valeur moyenne $\mu$ de $f$ sur $[0, \ln(2)]$ est donnée par la formule :
$$ \mu = \frac{1}{\ln(2) - 0} \int_0^{\ln(2)} f(x)\,dx = \frac{1}{\ln(2)} \times I $$En utilisant le résultat de la question 1 :
$$ \mu = \frac{1}{\ln(2)} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2\ln(2)} $$La valeur moyenne $\mu$ est $\frac{1}{2\ln(2)}$.
Justification de l'existence et de l'unicité de $c$ :
La fonction $f$ est continue sur l'intervalle $[0, \ln(2)]$ (car c'est une combinaison de fonctions exponentielles, qui sont continues).
D'après le théorème de la valeur moyenne pour les intégrales (qui est une conséquence du théorème des valeurs intermédiaires), il existe au moins un réel $c \in [0, \ln(2)]$ tel que $f(c) = \mu$.
De plus, l'énoncé nous indique que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0, \ln(2)]$ (une fonction croissante et non constante sur un intervalle où elle est continue est strictement monotone si elle ne prend pas la même valeur sur un sous-intervalle non trivial). Si $f$ est strictement monotone et continue sur un intervalle, alors pour toute valeur intermédiaire (ici $\mu$), il existe un unique $c$ tel que $f(c) = \mu$.
Calculons les valeurs aux bornes pour vérifier que $\mu$ est bien une valeur intermédiaire :
$$ f(0) = e^{2 \times 0} - e^0 = 1 - 1 = 0 $$$$ f(\ln(2)) = e^{2\ln(2)} - e^{\ln(2)} = e^{\ln(4)} - 2 = 4 - 2 = 2 $$On a $f(0) = 0$ et $f(\ln(2)) = 2$.
La valeur moyenne $\mu = \frac{1}{2\ln(2)}$. Puisque $\ln(2) \approx 0,693$, on a $2\ln(2) \approx 1,386$. Donc $\mu \approx \frac{1}{1,386} \approx 0,72$.
On constate bien que $0 < 0,72 < 2$, c'est-à-dire $f(0) < \mu < f(\ln(2))$.
Puisque $f$ est continue et strictement croissante sur $[0, \ln(2)]$, et que $\mu$ est compris entre $f(0)$ et $f(\ln(2))$, le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence et l'unicité d'un réel $c \in [0, \ln(2)]$ tel que $f(c) = \mu$.
Questions fréquentes
Quelle est l'interprétation graphique de la valeur moyenne ?
La relation de Chasles s'applique-t-elle si $b$ n'est pas entre $a$ et $c$ ?
La valeur moyenne peut-elle être négative ?
Faut-il toujours vérifier la continuité de la fonction avant de calculer une intégrale ou une valeur moyenne ?
Pour aller plus loin
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