Définition
Un problème d'optimisation consiste à trouver les valeurs d'une ou plusieurs variables qui maximisent ou minimisent une fonction donnée, appelée fonction objectif. Ces variables peuvent être soumises à des contraintes, qui sont des conditions ou des inégalités limitant l'ensemble des solutions possibles. En Terminale, on se concentre généralement sur l'optimisation de fonctions d'une seule variable sur un intervalle donné, en utilisant les outils de la dérivation.
Méthode — Problème d'optimisation avec ou sans contrainte
1. Modéliser le problème
Traduire l'énoncé en termes mathématiques. Identifier la grandeur à optimiser (aire, volume, coût, bénéfice, distance, etc.) et la représenter par une fonction $f(x)$. Identifier la variable $x$ et l'intervalle de définition $I$ de cette variable, souvent déterminé par les contraintes physiques ou géométriques du problème.
2. Dériver la fonction objectif
Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction objectif $f(x)$. S'assurer que la fonction est dérivable sur l'intervalle $I$ ou sur l'intérieur de $I$.
3. Étudier le signe de la dérivée
Résoudre l'équation $f'(x) = 0$ pour trouver les points critiques. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $I$. Cela permet de déterminer les intervalles où $f$ est croissante ($f'(x) > 0$) et décroissante ($f'(x) < 0$). Les points où la dérivée change de signe correspondent à des extremums locaux (maximums ou minimums).
4. Dresser le tableau de variations et conclure
Construire le tableau de variations de $f$ sur $I$ en incluant les valeurs de $f$ aux bornes de l'intervalle et aux points critiques. Identifier le maximum ou le minimum global de la fonction sur $I$. Répondre à la question posée dans l'énoncé en interprétant le résultat mathématique dans le contexte du problème.
Exemple résolu
Une entreprise fabrique des boîtes cylindriques sans couvercle, de volume $V = 1000$ cm$^3$. Le matériau utilisé pour le fond coûte 0,05 €/cm$^2$ et celui pour la paroi latérale coûte 0,02 €/cm$^2$. On cherche à déterminer les dimensions (rayon $r$ et hauteur $h$) de la boîte qui minimisent le coût de fabrication.
Le volume d'un cylindre est $V = \pi r^2 h$. On a $V = 1000$, donc $\pi r^2 h = 1000$. On peut exprimer $h$ en fonction de $r$: $h = \frac{1000}{\pi r^2}$.
L'aire du fond est $A_{fond} = \pi r^2$. L'aire de la paroi latérale est $A_{lat} = 2\pi r h$.
Le coût total $C(r, h)$ est $C(r, h) = 0,05 × A_{fond} + 0,02 × A_{lat} = 0,05 \pi r^2 + 0,02 (2\pi r h)$.
En substituant $h$: $C(r) = 0,05 \pi r^2 + 0,02 (2\pi r \frac{1000}{\pi r^2}) = 0,05 \pi r^2 + \frac{40}{r}$.
La variable $r$ doit être positive, donc $r \in ]0; +\infty[$. On a donc la fonction objectif $C(r) = 0,05 \pi r^2 + \frac{40}{r}$ à minimiser sur $]0; +\infty[.$
$C'(r) = \frac{d}{dr}(0,05 \pi r^2 + 40r^{-1}) = 0,05 \pi (2r) + 40(-1)r^{-2} = 0,1 \pi r - \frac{40}{r^2}$.
$0,1 \pi r - \frac{40}{r^2} = 0$
$0,1 \pi r = \frac{40}{r^2}$
$0,1 \pi r^3 = 40$
$r^3 = \frac{40}{0,1 \pi} = \frac{400}{\pi}$
$r = \sqrt[3]{\frac{400}{\pi}} \approx \sqrt[3]{127,32} \approx 5,03$ cm.
Pour étudier le signe de $C'(r)$, on peut écrire $C'(r) = \frac{0,1 \pi r^3 - 40}{r^2}$.
Puisque $r^2 > 0$ pour $r \in ]0; +\infty[$, le signe de $C'(r)$ est celui de $0,1 \pi r^3 - 40$.
$0,1 \pi r^3 - 40 > 0 \iff 0,1 \pi r^3 > 40 \iff r^3 > \frac{400}{\pi} \iff r > \sqrt[3]{\frac{400}{\pi}}$.
$0,1 \pi r^3 - 40 < 0 \iff r < \sqrt[3]{\frac{400}{\pi}}$.
Donc $C'(r) < 0$ pour $r < \sqrt[3]{\frac{400}{\pi}}$ et $C'(r) > 0$ pour $r > \sqrt[3]{\frac{400}{\pi}}$.
$$\begin{array}{|c|ccccc|}\hline r & 0 & & r_0 & & +\infty \\ \hline C'(r) & & - & 0 & + & \\ \hline C(r) & & \searrow & C(r_0) & \nearrow & \\ \hline \end{array}$$
La fonction $C(r)$ admet un minimum global en $r_0 = \sqrt[3]{\frac{400}{\pi}}$.
Calculons la hauteur $h$ correspondante : $h = \frac{1000}{\pi r_0^2} = \frac{1000}{\pi (\frac{400}{\pi})^{2/3}} = \frac{1000}{\pi^{1/3} 400^{2/3}} = \frac{1000}{400^{2/3} \pi^{1/3}} \approx 12,68$ cm.
Le coût minimal est $C(r_0) = 0,05 \pi (\frac{400}{\pi})^{2/3} + \frac{40}{(\frac{400}{\pi})^{1/3}} \approx 0,05 \pi (26,3) + \frac{40}{5,03} \approx 4,13 + 7,95 = 12,08$ €.
Pour minimiser le coût de fabrication, le rayon de la boîte doit être d'environ $5,03$ cm et sa hauteur d'environ $12,68$ cm. Le coût minimal sera alors d'environ $12,08$ €.
⚠️ Pièges fréquents au BAC — Optimisation
- Oublier de définir l'intervalle de validité de la variable $x$. Les bornes de l'intervalle peuvent être des points où l'extremum est atteint.
- Ne pas vérifier que le point critique correspond bien à un maximum ou un minimum (par le signe de la dérivée ou la dérivée seconde).
- Ne pas répondre à la question posée dans l'énoncé, en laissant le résultat sous forme mathématique sans interprétation.
- Faire des erreurs de calcul lors de la dérivation ou de la résolution de $f'(x)=0$.
Exercice type BAC
Une entreprise fabrique et vend un certain produit. Le coût total de production de $x$ tonnes de ce produit est donné par la fonction $C(x) = x^3 - 12x^2 + 50x + 100$ pour $x \in [0; 10]$.
Le prix de vente d'une tonne est de 20 €.
- Exprimer la recette $R(x)$ et le bénéfice $B(x)$ en fonction de $x$.
- Déterminer la quantité de produit $x$ que l'entreprise doit fabriquer et vendre pour maximiser son bénéfice. Justifier votre réponse.
- Quel est le bénéfice maximal réalisé par l'entreprise ?
La recette $R(x)$ est le produit de la quantité vendue par le prix unitaire. Puisque le prix de vente d'une tonne est de 20 €, on a :
$R(x) = 20x$Le bénéfice $B(x)$ est la différence entre la recette et le coût total :
$B(x) = R(x) - C(x)$
$B(x) = 20x - (x^3 - 12x^2 + 50x + 100)$
$B(x) = -x^3 + 12x^2 - 30x - 100$Pour maximiser le bénéfice, nous devons étudier la fonction $B(x)$ sur l'intervalle $[0; 10]$.
Calculons la dérivée de $B(x)$ :
$B'(x) = -3x^2 + 24x - 30$Cherchons les valeurs de $x$ pour lesquelles $B'(x) = 0$ :
$-3x^2 + 24x - 30 = 0$
Divisons par -3 : $x^2 - 8x + 10 = 0$Calculons le discriminant $\Delta$ de cette équation quadratique :
$\Delta = (-8)^2 - 4 × 1 × 10 = 64 - 40 = 24$
Les racines sont :
$x_1 = \frac{-(-8) - \sqrt{24}}{2 × 1} = \frac{8 - 2\sqrt{6}}{2} = 4 - \sqrt{6}$
$x_2 = \frac{-(-8) + \sqrt{24}}{2 × 1} = \frac{8 + 2\sqrt{6}}{2} = 4 + \sqrt{6}$Calculons les valeurs approchées :
$x_1 \approx 4 - 2,45 = 1,55$
$x_2 \approx 4 + 2,45 = 6,45$Ces deux valeurs sont dans l'intervalle $[0; 10]$.
Étudions le signe de $B'(x)$. C'est un polynôme du second degré avec un coefficient dominant négatif ($-3$). Il est donc négatif à l'extérieur des racines et positif entre les racines.
$$\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x & 0 & & 4-\sqrt{6} & & 4+\sqrt{6} & & 10 \\ \hline B'(x) & & - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline B(x) & -100 & \searrow & B(4-\sqrt{6}) & \nearrow & B(4+\sqrt{6}) & \searrow & B(10) \\ \hline \end{array}$$
Calculons les valeurs de $B(x)$ aux points critiques et aux bornes de l'intervalle :
$B(0) = -100$
$B(4-\sqrt{6}) \approx B(1,55) = -(1,55)^3 + 12(1,55)^2 - 30(1,55) - 100 \approx -3,72 + 28,83 - 46,5 - 100 = -121,39$
$B(4+\sqrt{6}) \approx B(6,45) = -(6,45)^3 + 12(6,45)^2 - 30(6,45) - 100 \approx -268,34 + 497,22 - 193,5 - 100 = -64,62$
$B(10) = -(10)^3 + 12(10)^2 - 30(10) - 100 = -1000 + 1200 - 300 - 100 = -200$Le tableau de variations montre que la fonction $B(x)$ atteint un maximum local en $x = 4+\sqrt{6}$. En comparant les valeurs aux bornes et aux extremums locaux, on constate que le maximum est $B(4+\sqrt{6})$.
La quantité de produit que l'entreprise doit fabriquer et vendre pour maximiser son bénéfice est $x = 4+\sqrt{6}$ tonnes.
Le bénéfice maximal est $B(4+\sqrt{6})$.
$B(4+\sqrt{6}) = -(4+\sqrt{6})^3 + 12(4+\sqrt{6})^2 - 30(4+\sqrt{6}) - 100$
Il est plus simple d'utiliser la valeur approchée calculée précédemment :
$B(4+\sqrt{6}) \approx -64,62$ €.Il semble y avoir une erreur dans l'énoncé ou les valeurs, car le bénéfice maximal est négatif. Cela signifie que l'entreprise ne réalise jamais de bénéfice positif avec cette structure de coûts et de prix. Le maximum trouvé est le moins mauvais des bénéfices (la perte la moins importante).
Le bénéfice maximal (ou la perte minimale) est d'environ $-64,62$ €.
Questions fréquentes
Comment savoir si je dois chercher un maximum ou un minimum ?
Que faire si la fonction objectif dépend de plusieurs variables ?
Faut-il toujours calculer la dérivée seconde pour confirmer un extremum ?
Que se passe-t-il si l'extremum est aux bornes de l'intervalle ?
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