Définition
Soit $f$ une fonction dérivable en un point $a$ de son ensemble de définition. La tangente à la courbe représentative de $f$, notée $\mathcal{C}_f$, au point d'abscisse $a$ est la droite qui « approche le mieux » la courbe au voisinage de ce point. Son équation est donnée par la formule $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
Méthode — Équation de la tangente à une courbe en un point $x_0$
Étape 1 : Vérifier la dérivabilité de la fonction
Avant de calculer l'équation de la tangente, il est essentiel de s'assurer que la fonction $f$ est bien dérivable au point d'abscisse $a$. En Terminale, les fonctions usuelles (polynômes, exponentielles, logarithmes, trigonométriques) sont dérivables sur leur domaine de définition, sauf cas particuliers (par exemple, la fonction valeur absolue en $0$). Si la fonction est définie par morceaux, il faut vérifier la dérivabilité au point de raccordement.
Étape 2 : Calculer la dérivée de la fonction
Déterminer l'expression de la fonction dérivée $f'(x)$ en utilisant les règles de dérivation (somme, produit, quotient, composition de fonctions). Il est crucial de maîtriser ces règles pour éviter les erreurs de calcul.
Étape 3 : Calculer $f(a)$ et $f'(a)$
Substituer la valeur de $a$ dans l'expression de la fonction $f(x)$ pour obtenir l'ordonnée du point de tangence, $f(a)$. Ensuite, substituer $a$ dans l'expression de la dérivée $f'(x)$ pour obtenir le coefficient directeur de la tangente, $f'(a)$. Le nombre dérivé $f'(a)$ représente la pente de la tangente au point d'abscisse $a$.
Étape 4 : Appliquer la formule de l'équation de la tangente
Utiliser la formule $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ en remplaçant $f'(a)$, $a$, et $f(a)$ par les valeurs calculées précédemment. Simplifier l'expression obtenue pour présenter l'équation de la tangente sous la forme $y = mx + p$.
Exemple résolu
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a = 2$.
Calculons sa dérivée :
$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2x + 1) = 3x^2 - 3 × 2x + 2 + 0 = 3x^2 - 6x + 2$$
$$f(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + 2(2) + 1 = 8 - 3 × 4 + 4 + 1 = 8 - 12 + 4 + 1 = 1$$
Calculons $f'(2)$ :
$$f'(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 2 = 3 × 4 - 12 + 2 = 12 - 12 + 2 = 2$$
En substituant les valeurs $a=2$, $f(2)=1$ et $f'(2)=2$ :
$$y = 2(x - 2) + 1$$
$$y = 2x - 4 + 1$$
$$y = 2x - 3$$
L'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $2$ est $\boxed{y = 2x - 3}$.
⚠️ Piège fréquent au BAC — Oubli de $f(a)$ ou erreur de signe
- Oublier de calculer $f(a)$ et de l'ajouter à la fin de la formule. La formule est $y = f'(a)(x - a) + f(a)$, et non $y = f'(a)(x - a)$.
- Faire une erreur de signe lors de la substitution de $a$ dans $(x-a)$. Par exemple, si $a = -1$, alors $(x-a)$ devient $(x - (-1))$, soit $(x+1)$.
- Confondre $f(a)$ et $f'(a)$ lors de la substitution dans la formule. $f(a)$ est l'ordonnée du point, $f'(a)$ est le coefficient directeur.
- Erreur de calcul dans la dérivée $f'(x)$ ou dans l'évaluation de $f(a)$ ou $f'(a)$. Une petite erreur de calcul peut rendre toute l'équation fausse.
Exercice type BAC
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x - 1)e^{-x}$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
- Calculer la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f$.
- Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.
- Existe-t-il un point de $\mathcal{C}_f$ en lequel la tangente est horizontale ? Si oui, déterminer les coordonnées de ce point.
Calcul de la dérivée $f'(x)$ :
La fonction $f(x) = (2x - 1)e^{-x}$ est de la forme $u(x)v(x)$ avec $u(x) = 2x - 1$ et $v(x) = e^{-x}$.
On a $u'(x) = 2$.
Pour $v(x) = e^{-x}$, on utilise la règle de dérivation $(e^g)' = g'e^g$. Ici $g(x) = -x$, donc $g'(x) = -1$.
Ainsi, $v'(x) = -e^{-x}$.
La formule de dérivation d'un produit est $(uv)' = u'v + uv'$.
Donc :
$$f'(x) = 2 × e^{-x} + (2x - 1) × (-e^{-x})$$$$f'(x) = e^{-x}(2 - (2x - 1))$$$$f'(x) = e^{-x}(2 - 2x + 1)$$$$f'(x) = e^{-x}(3 - 2x)$$Détermination de l'équation de la tangente $T$ au point d'abscisse $0$ :
L'équation de la tangente est $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. Ici $a = 0$.
Calculons $f(0)$ :
$$f(0) = (2 × 0 - 1)e^{-0} = (-1)e^0 = -1 × 1 = -1$$Calculons $f'(0)$ :
$$f'(0) = e^{-0}(3 - 2 × 0) = e^0(3) = 1 × 3 = 3$$Substituons ces valeurs dans la formule :
$$y = 3(x - 0) + (-1)$$$$y = 3x - 1$$L'équation de la tangente $T$ au point d'abscisse $0$ est $\boxed{y = 3x - 1}$.
Existence d'un point où la tangente est horizontale :
Une tangente est horizontale si et seulement si son coefficient directeur est nul. Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $x$ est $f'(x)$.
Nous devons donc résoudre l'équation $f'(x) = 0$ :
$$e^{-x}(3 - 2x) = 0$$Puisque $e^{-x}$ est toujours strictement positif pour tout $x \in \mathbb{R}$, l'équation est équivalente à :
$$3 - 2x = 0$$$$2x = 3$$$$x = \frac{3}{2}$$Il existe donc un unique point où la tangente est horizontale. Déterminons ses coordonnées :
L'abscisse est $x = \frac{3}{2}$.
Calculons l'ordonnée $f(\frac{3}{2})$ :
$$f(\frac{3}{2}) = (2 × \frac{3}{2} - 1)e^{-\frac{3}{2}}$$$$f(\frac{3}{2}) = (3 - 1)e^{-\frac{3}{2}}$$$$f(\frac{3}{2}) = 2e^{-\frac{3}{2}}$$ (ou $f(\frac{3}{2}) = \frac{2}{e^{3/2}}$)Les coordonnées du point où la tangente est horizontale sont $\boxed{(\frac{3}{2} ; 2e^{-\frac{3}{2}})}$.
Questions fréquentes
Quel est le lien entre la tangente et la dérivée ?
Que signifie une tangente horizontale ?
Peut-on avoir une tangente verticale ?
Comment savoir si la tangente est au-dessus ou en dessous de la courbe ?
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