Définition
Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues : le succès (noté $S$) de probabilité $p$ et l'échec (noté $\bar{S}$) de probabilité $1-p$. La loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ est la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès obtenus lors de $n$ répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$. Ses paramètres sont $n$ (nombre de répétitions) et $p$ (probabilité de succès).
Méthode — Loi binomiale $B(n, p)$ : schéma de Bernoulli et paramètres
1. Identifier le schéma de Bernoulli
Vérifier que l'expérience aléatoire peut être modélisée par un schéma de Bernoulli :
- Il y a un nombre fixe $n$ de répétitions.
- Chaque répétition est une épreuve de Bernoulli (deux issues : succès/échec).
- Les épreuves sont identiques (la probabilité de succès $p$ est la même à chaque répétition).
- Les épreuves sont indépendantes (le résultat d'une épreuve n'influence pas les autres).
2. Définir la variable aléatoire et ses paramètres
Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de succès. Si les conditions du schéma de Bernoulli sont remplies, alors $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$.
- $n$ est le nombre de répétitions (ou d'épreuves).
- $p$ est la probabilité de succès pour une seule épreuve.
3. Calculer les probabilités
La probabilité d'obtenir exactement $k$ succès parmi $n$ épreuves est donnée par la formule : $$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$ où $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ est le coefficient binomial, représentant le nombre de chemins menant à $k$ succès parmi $n$ épreuves. Pour les calculs, utiliser la calculatrice (fonction binompdf ou binomFdp) ou un logiciel.
4. Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type
Pour une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ :
- L'espérance (nombre moyen de succès) est : $E(X) = n × p$.
- La variance est : $V(X) = n × p × (1-p)$.
- L'écart-type est : $\sigma(X) = \sqrt{n × p × (1-p)}$.
Ces valeurs caractérisent la distribution de la loi binomiale.
Exemple résolu
Un joueur de basket-ball réussit un lancer franc avec une probabilité de $0,7$. Il effectue $10$ lancers francs, considérés comme indépendants. On s'intéresse au nombre de lancers réussis.
Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de lancers réussis. $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(10, 0,7)$.
$P(X=8) = \binom{10}{8} (0,7)^8 (0,3)^{10-8}$
$P(X=8) = \binom{10}{8} (0,7)^8 (0,3)^2$
Calculons $\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 × 9}{2 × 1} = 45$.
$P(X=8) = 45 × (0,7)^8 × (0,3)^2 \approx 45 × 0,057648 × 0,09 \approx 0,23347$.
À l'aide de la calculatrice (
binompdf(10, 0.7, 8)), on trouve $P(X=8) \approx 0,2335$ (arrondi à $10^{-4}$).$P(X=9) = \binom{10}{9} (0,7)^9 (0,3)^1 = 10 × (0,7)^9 × 0,3 \approx 10 × 0,0403536 × 0,3 \approx 0,12106$.
$P(X=10) = \binom{10}{10} (0,7)^{10} (0,3)^0 = 1 × (0,7)^{10} × 1 \approx 0,0282475$.
$P(X \geq 9) = P(X=9) + P(X=10) \approx 0,12106 + 0,02825 \approx 0,14931$.
À l'aide de la calculatrice (
1 - binomcdf(10, 0.7, 8) ou binomcdf(10, 0.7, 10) - binomcdf(10, 0.7, 8)), on trouve $P(X \geq 9) \approx 0,1493$ (arrondi à $10^{-4}$).La variance $V(X) = n × p × (1-p) = 10 × 0,7 × 0,3 = 2,1$.
L'écart-type $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{2,1} \approx 1,449$.
L'écart-type mesure la dispersion des résultats autour de l'espérance.
La probabilité que le joueur réussisse exactement 8 lancers est d'environ $0,2335$. La probabilité qu'il réussisse au moins 9 lancers est d'environ $0,1493$. En moyenne, il réussira $7$ lancers, avec un écart-type d'environ $1,449$.
⚠️ Piège fréquent au BAC — Confusion entre $P(X=k)$ et $P(X \leq k)$
- Ne pas confondre la probabilité d'obtenir exactement $k$ succès ($P(X=k)$, fonction de masse) avec la probabilité d'obtenir au plus $k$ succès ($P(X \leq k)$, fonction de répartition cumulative).
- Oublier que les épreuves doivent être indépendantes pour appliquer la loi binomiale. Si les tirages sont sans remise dans un petit ensemble, la loi hypergéométrique serait plus appropriée.
- Erreur dans le calcul de $1-p$ : si $p$ est la probabilité de succès, $1-p$ est la probabilité d'échec. C'est simple mais source d'erreurs d'inattention.
Exercice type BAC
Une usine fabrique des composants électroniques. On sait que $5\%$ des composants produits sont défectueux. Pour un contrôle qualité, on prélève au hasard un échantillon de $20$ composants, et on suppose que ce prélèvement peut être assimilé à un tirage avec remise.
- Justifier que le nombre de composants défectueux dans l'échantillon suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
- Calculer la probabilité qu'il y ait exactement $2$ composants défectueux dans l'échantillon. Arrondir le résultat à $10^{-4}$.
- Calculer la probabilité qu'il y ait au moins $1$ composant défectueux dans l'échantillon. Arrondir le résultat à $10^{-4}$.
- Calculer l'espérance du nombre de composants défectueux dans un échantillon de $20$ composants. Interpréter ce résultat.
Justification de la loi binomiale :
- L'expérience consiste en la répétition de $n=20$ épreuves (prélèvement d'un composant).
- Chaque épreuve est une épreuve de Bernoulli : le composant est soit défectueux (succès $S$) soit non défectueux (échec $\bar{S}$).
- La probabilité de succès (composant défectueux) est $p=0,05$.
- Les épreuves sont indépendantes car le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise.
Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de composants défectueux dans l'échantillon. Alors $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ avec $n=20$ et $p=0,05$.
Probabilité d'exactement 2 composants défectueux :
On cherche $P(X=2)$. En utilisant la formule $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ :
$$P(X=2) = \binom{20}{2} (0,05)^2 (1-0,05)^{20-2}$$$$P(X=2) = \binom{20}{2} (0,05)^2 (0,95)^{18}$$
Calculons $\binom{20}{2} = \frac{20 × 19}{2} = 190$.
$$P(X=2) = 190 × (0,05)^2 × (0,95)^{18} \approx 190 × 0,0025 × 0,397205 \approx 0,18867$$
À l'aide de la calculatrice (
binompdf(20, 0.05, 2)), on trouve $P(X=2) \approx 0,1887$ (arrondi à $10^{-4}$).Probabilité d'au moins 1 composant défectueux :
On cherche $P(X \geq 1)$. Il est plus simple de calculer la probabilité de l'événement contraire, c'est-à-dire $P(X=0)$ (aucun composant défectueux), puis d'utiliser $P(X \geq 1) = 1 - P(X=0)$.
$$P(X=0) = \binom{20}{0} (0,05)^0 (0,95)^{20} = 1 × 1 × (0,95)^{20} \approx 0,35848$$
Donc, $P(X \geq 1) = 1 - P(X=0) \approx 1 - 0,35848 \approx 0,64152$.
À l'aide de la calculatrice (
1 - binomcdf(20, 0.05, 0)), on trouve $P(X \geq 1) \approx 0,6415$ (arrondi à $10^{-4}$).Espérance du nombre de composants défectueux :
L'espérance $E(X)$ d'une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ est donnée par la formule $E(X) = n × p$.
$$E(X) = 20 × 0,05 = 1$$
Interprétation : En moyenne, sur un échantillon de $20$ composants prélevés, on s'attend à trouver $1$ composant défectueux.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre une épreuve de Bernoulli et un schéma de Bernoulli ?
Comment savoir si les épreuves sont indépendantes ?
Quand utiliser binompdf et binomcdf sur la calculatrice ?
binompdf(n, p, k) (ou binomFdp) pour calculer $P(X=k)$, c'est-à-dire la probabilité d'obtenir exactement $k$ succès. Utilisez binomcdf(n, p, k) (ou binomFRép) pour calculer $P(X \leq k)$, c'est-à-dire la probabilité d'obtenir au plus $k$ succès. Pour $P(X \geq k)$, calculez $1 - P(X \leq k-1)$.Que représentent l'espérance et l'écart-type pour une loi binomiale ?
Pour aller plus loin
Vous bloquez sur ce chapitre ?
Adil accompagne les lycéens en Terminale Spécialité, en ligne ou à domicile dans le Val d'Oise. Résultats en 1 séance.