Probabilités & Statistiques · Fiche N°81 / 110

Calculer des probabilités avec la loi binomiale $B(n,p)$

Définition, méthode rigoureuse, exemples corrigés et exercice type BAC.

📚 Terminale Spécialité Maths ⏱ Lecture : 5 min ✅ Programme officiel BO 2019

Définition

La loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ modélise le nombre de succès $X$ obtenus lors de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques, où chaque épreuve a deux issues possibles (succès ou échec) et la probabilité de succès est $p$. La probabilité d'obtenir $k$ succès parmi $n$ épreuves est donnée par la formule $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ pour $k \in \{0, 1, \dots, n\}$.

💡 Bon réflexe : Avant tout calcul, vérifie toujours que la situation correspond bien à un schéma de Bernoulli et identifie clairement $n$ et $p$.
012345678B(8, 0.5)P(X=k) = C₈ᵏ (0.5)⁸

Méthode — Calculer des probabilités avec la loi binomiale $B(n,p)$

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1. Identifier le schéma de Bernoulli

Vérifier que la situation correspond à une répétition d'épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques. Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues : succès (probabilité $p$) ou échec (probabilité $1-p$). Les $n$ épreuves doivent être indépendantes les unes des autres.

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2. Définir la variable aléatoire et ses paramètres

Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de succès. Identifier le nombre d'épreuves $n$ et la probabilité de succès $p$ pour une seule épreuve. La variable aléatoire $X$ suit alors la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$.

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3. Écrire la formule de probabilité

Pour calculer la probabilité d'obtenir exactement $k$ succès, utiliser la formule $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$. Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ se calcule comme $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ et représente le nombre de façons de choisir $k$ succès parmi $n$ épreuves.

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4. Calculer la probabilité demandée

Effectuer le calcul en remplaçant $n$, $p$ et $k$ par leurs valeurs. Si la question porte sur une probabilité cumulée (par exemple, $P(X \leq k)$ ou $P(X > k)$), il faudra sommer plusieurs probabilités $P(X=i)$ ou utiliser l'événement contraire. Utiliser la calculatrice pour les coefficients binomiaux et les puissances.

Exemple résolu

Une usine fabrique des ampoules. On estime que 5% des ampoules produites sont défectueuses. On prélève au hasard un échantillon de 20 ampoules dans la production. On suppose que la production est suffisamment grande pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.

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1. Identifier le schéma de Bernoulli et la variable aléatoire.
Chaque ampoule prélevée est une épreuve de Bernoulli : soit elle est défectueuse (succès), soit elle ne l'est pas (échec). La probabilité qu'une ampoule soit défectueuse est $p = 0,05$. Les prélèvements sont indépendants. On répète l'expérience $n=20$ fois. Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre d'ampoules défectueuses dans l'échantillon. $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(20, 0,05)$.
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2. Calculer la probabilité qu'il y ait exactement 2 ampoules défectueuses.
On cherche $P(X=2)$. En utilisant la formule $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ avec $n=20$, $p=0,05$ et $k=2$: $$P(X=2) = \binom{20}{2} (0,05)^2 (1-0,05)^{20-2}$$ $$P(X=2) = \binom{20}{2} (0,05)^2 (0,95)^{18}$$ Calculons $\binom{20}{2} = \frac{20 × 19}{2 × 1} = 190$. $$P(X=2) = 190 × (0,05)^2 × (0,95)^{18} \approx 190 × 0,0025 × 0,3972 \approx 0,1887$$
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3. Calculer la probabilité qu'il y ait au plus 1 ampoule défectueuse.
On cherche $P(X \leq 1)$, ce qui signifie $P(X=0) + P(X=1)$. $$P(X=0) = \binom{20}{0} (0,05)^0 (0,95)^{20} = 1 × 1 × (0,95)^{20} \approx 0,3585$$ $$P(X=1) = \binom{20}{1} (0,05)^1 (0,95)^{19} = 20 × 0,05 × (0,95)^{19} \approx 1 × 0,3774 \approx 0,3774$$ $$P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1) \approx 0,3585 + 0,3774 \approx 0,7359$$
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4. Calculer la probabilité qu'il y ait au moins 3 ampoules défectueuses.
On cherche $P(X \geq 3)$. Il est plus simple d'utiliser l'événement contraire : $P(X \geq 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - P(X \leq 2)$. Nous avons déjà $P(X \leq 1) \approx 0,7359$. Calculons $P(X=2) \approx 0,1887$. Donc $P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \approx 0,7359 + 0,1887 \approx 0,9246$. $$P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) \approx 1 - 0,9246 \approx 0,0754$$

La probabilité d'avoir exactement 2 ampoules défectueuses est d'environ 0,1887. La probabilité d'avoir au plus 1 ampoule défectueuse est d'environ 0,7359. La probabilité d'avoir au moins 3 ampoules défectueuses est d'environ 0,0754.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Confondre $P(X

  1. Ne pas confondre $P(X < k)$ qui est $P(X \leq k-1)$ et $P(X \leq k)$. Par exemple, $P(X < 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$, tandis que $P(X \leq 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)$.
  2. Oublier d'utiliser l'événement contraire pour les probabilités du type $P(X \geq k)$, ce qui peut mener à des calculs très longs et sources d'erreurs.
  3. Mal identifier les paramètres $n$ et $p$. S'assurer que $p$ est bien la probabilité de succès de l'événement qui nous intéresse (celui que compte $X$).
  4. Erreur de calcul du coefficient binomial $\binom{n}{k}$ ou des puissances. Utiliser la calculatrice avec soin.

Exercice type BAC

Un jeu de société propose une épreuve où le joueur doit lancer un dé équilibré à six faces. Pour réussir l'épreuve, il doit obtenir un 6. Un joueur participe 5 fois à cette épreuve.

  1. Justifier que le nombre de succès $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
  2. Calculer la probabilité que le joueur réussisse exactement 2 fois l'épreuve. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
  3. Calculer la probabilité que le joueur réussisse au moins une fois l'épreuve. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.

  1. Chaque lancer de dé est une épreuve de Bernoulli :

    • Succès : obtenir un 6. La probabilité de succès est $p = \frac{1}{6}$ car le dé est équilibré.
    • Échec : ne pas obtenir un 6. La probabilité d'échec est $1-p = \frac{5}{6}$.

    Le joueur participe 5 fois à cette épreuve, donc il y a $n=5$ répétitions. Les lancers sont indépendants les uns des autres. La variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès (obtenir un 6) suit donc une loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=\frac{1}{6}$. On note $X \sim \mathcal{B}(5, \frac{1}{6})$.

  2. On cherche la probabilité que le joueur réussisse exactement 2 fois l'épreuve, c'est-à-dire $P(X=2)$.

    En utilisant la formule $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ avec $n=5$, $p=\frac{1}{6}$ et $k=2$ :

    $$P(X=2) = \binom{5}{2} \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(1-\frac{1}{6}\right)^{5-2}$$

    $$P(X=2) = \binom{5}{2} \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^3$$

    Calculons $\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 × 4}{2 × 1} = 10$.

    $$P(X=2) = 10 × \frac{1}{36} × \frac{125}{216}$$

    $$P(X=2) = \frac{10 × 125}{36 × 216} = \frac{1250}{7776} \approx 0,16075$$

    Arrondi à $10^{-3}$, $P(X=2) \approx 0,161$.

  3. On cherche la probabilité que le joueur réussisse au moins une fois l'épreuve, c'est-à-dire $P(X \geq 1)$.

    Il est plus simple d'utiliser l'événement contraire : $P(X \geq 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X=0)$.

    Calculons $P(X=0)$ :

    $$P(X=0) = \binom{5}{0} \left(\frac{1}{6}\right)^0 \left(\frac{5}{6}\right)^{5-0}$$

    $$P(X=0) = 1 × 1 × \left(\frac{5}{6}\right)^5 = \frac{5^5}{6^5} = \frac{3125}{7776} \approx 0,40187$$

    Donc $P(X \geq 1) = 1 - P(X=0) \approx 1 - 0,40187 \approx 0,59813$.

    Arrondi à $10^{-3}$, $P(X \geq 1) \approx 0,598$.

Questions fréquentes

Quand utilise-t-on la loi binomiale ?
La loi binomiale est utilisée lorsque l'on répète $n$ fois une expérience aléatoire identique et indépendante, appelée épreuve de Bernoulli, qui n'a que deux issues possibles (succès ou échec). On s'intéresse alors au nombre de succès obtenus parmi ces $n$ répétitions.
Comment calculer $\binom{n}{k}$ ?
Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ se calcule par la formule $\frac{n!}{k!(n-k)!}$. Il représente le nombre de façons de choisir $k$ éléments parmi $n$ sans ordre et sans répétition. Sur une calculatrice, il est souvent noté 'nCr' ou 'C(n,k)'.
Quel est l'espérance et la variance d'une loi binomiale ?
Si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$, alors son espérance est $E(X) = np$ et sa variance est $V(X) = np(1-p)$. L'écart-type est $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$. Ces formules sont utiles pour caractériser la distribution des succès.
Comment utiliser la calculatrice pour les probabilités binomiales ?
La plupart des calculatrices scientifiques et graphiques possèdent des fonctions dédiées à la loi binomiale. Pour $P(X=k)$, on utilise généralement 'binomFdp' (ou 'binomPdf'). Pour $P(X \leq k)$, on utilise 'binomFRep' (ou 'binomCdf'). Il faut spécifier $n$, $p$ et $k$.

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