Définition
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$, où $n$ est le nombre de répétitions d'une épreuve de Bernoulli et $p$ est la probabilité de succès. L'espérance $E(X)$ représente la valeur moyenne attendue de succès, et la variance $V(X)$ mesure la dispersion des résultats autour de cette espérance.
Méthode — Espérance $np$ et variance $np(1-p)$ de la loi binomiale
Identifier la loi binomiale
Avant tout calcul, il est crucial de s'assurer que la variable aléatoire $X$ suit bien une loi binomiale. Pour cela, il faut vérifier qu'il s'agit de la répétition $n$ fois d'une même épreuve de Bernoulli (deux issues possibles : succès ou échec), que ces répétitions sont indépendantes, et que la probabilité de succès $p$ reste constante à chaque épreuve. On note alors $X \sim \mathcal{B}(n, p)$.
Calculer l'espérance $E(X)$
L'espérance d'une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ est donnée par la formule simple : $$E(X) = n \times p$$ Cette formule indique le nombre moyen de succès que l'on peut attendre sur $n$ répétitions.
Calculer la variance $V(X)$
La variance d'une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ est donnée par la formule : $$V(X) = n \times p \times (1-p)$$ On note souvent $q = 1-p$ la probabilité d'échec, donc $V(X) = n \times p \times q$. La variance mesure la dispersion des résultats autour de l'espérance.
Calculer l'écart-type $\sigma(X)$ (si demandé)
L'écart-type est la racine carrée de la variance. Il est exprimé dans la même unité que la variable aléatoire $X$, ce qui le rend plus interprétable que la variance. Si demandé, on calcule : $$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{n \times p \times (1-p)}$$
Exemple résolu
Une entreprise fabrique des composants électroniques. On sait que $5\%$ des composants produits sont défectueux. On prélève au hasard un échantillon de $100$ composants pour un contrôle qualité. Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de composants défectueux dans l'échantillon.
Pour un échantillon de $100$ composants, on s'attend en moyenne à $5$ composants défectueux, avec un écart-type d'environ $2,18$ composants défectueux. Ces valeurs caractérisent la distribution du nombre de défectueux.
⚠️ Piège fréquent au BAC — Confusion avec d'autres lois
- Ne pas vérifier les conditions d'application de la loi binomiale (indépendance des épreuves, probabilité de succès constante, nombre fixe de répétitions).
- Confondre la probabilité de succès $p$ avec la probabilité d'échec $1-p$ dans les formules.
- Oublier de prendre la racine carrée pour calculer l'écart-type à partir de la variance.
Exercice type BAC
Un jeu de société propose une épreuve où un joueur doit lancer un dé équilibré à six faces. Le joueur gagne s'il obtient un 6. Il effectue $20$ lancers successifs et indépendants.
- Justifier que la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de fois où le joueur obtient un 6 suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
- Calculer l'espérance de $X$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
- Calculer la variance et l'écart-type de $X$. Arrondir l'écart-type à $10^{-2}$ près.
Justification de la loi binomiale :
- L'épreuve est la répétition de $n=20$ lancers d'un dé.
- Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli : le succès est d'obtenir un 6, l'échec est de ne pas obtenir un 6.
- La probabilité de succès est $p = 1/6$ (le dé est équilibré et a six faces).
- Les lancers sont successifs et indépendants.
Donc, la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ avec $n=20$ et $p=1/6$.
Calcul de l'espérance de $X$ :
L'espérance $E(X)$ d'une loi binomiale est donnée par la formule $E(X) = n \times p$.
$$E(X) = 20 \times \frac{1}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \approx 3,33$$Interprétation : En moyenne, sur $20$ lancers, le joueur peut s'attendre à obtenir environ $3,33$ fois le chiffre 6. Cela signifie que si le joueur répète cette série de $20$ lancers un grand nombre de fois, le nombre moyen de 6 obtenus sera proche de $3,33$.
Calcul de la variance et de l'écart-type de $X$ :
La variance $V(X)$ est donnée par la formule $V(X) = n \times p \times (1-p)$.
Ici, $1-p = 1 - 1/6 = 5/6$.
$$V(X) = 20 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{100}{36} = \frac{25}{9} \approx 2,78$$L'écart-type $\sigma(X)$ est la racine carrée de la variance :
$$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3} \approx 1,67$$La variance est d'environ $2,78$ et l'écart-type est d'environ $1,67$.
Questions fréquentes
Pourquoi l'espérance $E(X)$ est-elle $n \times p$ pour une loi binomiale ?
Peut-on avoir une espérance non entière, comme $3,33$ dans l'exemple ?
À quoi sert la variance ou l'écart-type dans le contexte de la loi binomiale ?
Est-il nécessaire de démontrer les formules de l'espérance et de la variance de la loi binomiale au BAC ?
Pour aller plus loin
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