Calculer des probabilités avec la loi normale – Fiche BAC Terminale Maths

Q: Quelles sont les propriétés de symétrie de la loi normale ?

La courbe de densité de la loi normale est symétrique par rapport à sa moyenne $\mu$. Cela implique que $P(X \leq \mu - k) = P(X \geq \mu + k)$ pour tout $k > 0$. Pour la loi centrée réduite, $P(Z \leq -z) = P(Z \geq z) = 1 - P(Z \leq z) = 1 - \Phi(z)$. Cette propriété est utile pour les calculs sans calculatrice ou pour vérifier des résultats.

Définition

La loi normale, notée $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$, est une loi de probabilité continue caractérisée par sa moyenne $\mu$ et sa variance $\sigma^2$ (ou son écart-type $\sigma$). Sa densité de probabilité est donnée par la fonction $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$. La courbe représentative de cette fonction est en forme de cloche, symétrique par rapport à la droite d'équation $x = \mu$.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier les unités et les paramètres ($\mu$ et $\sigma$) avant de commencer les calculs, et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Méthode — Calculer des probabilités avec la loi normale $\mathcal{N}(\mu,\,\sigma^2)$

Identifier la variable aléatoire et ses paramètres

Définir la variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale et identifier ses paramètres $\mu$ (moyenne) et $\sigma$ (écart-type). Si la variance $\sigma^2$ est donnée, calculer l'écart-type $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$.

Écrire la probabilité sous forme mathématique

Traduire la question posée en termes de probabilité. Il s'agit généralement de calculer $P(X \leq a)$, $P(X \geq a)$, $P(a \leq X \leq b)$ ou $P(X = a)$. Pour une variable continue, $P(X = a) = 0$. On utilise les propriétés : $P(X \geq a) = 1 - P(X < a)$ et $P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a)$. Notez que pour une loi continue, $P(X < a) = P(X \leq a)$.

Utiliser la calculatrice ou la table de la loi normale centrée réduite

Pour calculer ces probabilités, on utilise généralement une calculatrice graphique (fonction 'normalFRep' ou 'normalcdf') ou un logiciel. Si on utilise la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0, 1)$, il faut d'abord 'centrer et réduire' la variable $X$ en posant $Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$. Alors $P(X \leq a) = P\left(Z \leq \frac{a-\mu}{\sigma}\right)$. Les valeurs de $P(Z \leq z)$ sont données par la fonction de répartition $\Phi(z)$.

Interpréter le résultat

Le résultat obtenu est une probabilité, donc une valeur comprise entre 0 et 1. Il est important de l'interpréter dans le contexte de l'énoncé, en donnant une phrase de conclusion claire.

Exemple résolu

Le temps de trajet quotidien (en minutes) d'un employé entre son domicile et son lieu de travail est modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit une loi normale de moyenne $\mu = 30$ minutes et d'écart-type $\sigma = 5$ minutes.

Calculer la probabilité que le temps de trajet soit inférieur à 25 minutes.

On cherche $P(T \leq 25)$. La variable $T$ suit une loi $\mathcal{N}(30, 5^2)$. À l'aide d'une calculatrice (fonction 'normalFRep' ou 'normalcdf' avec $-\infty$ comme borne inférieure, 25 comme borne supérieure, $\mu=30$ et $\sigma=5$), on obtient : $P(T \leq 25) \approx 0,15865$. Interprétation : Il y a environ 15,87% de chances que le temps de trajet soit inférieur à 25 minutes.

Calculer la probabilité que le temps de trajet soit supérieur à 40 minutes.

On cherche $P(T \geq 40)$. On utilise la propriété $P(T \geq 40) = 1 - P(T < 40) = 1 - P(T \leq 40)$. À l'aide d'une calculatrice (fonction 'normalFRep' ou 'normalcdf' avec $-\infty$ comme borne inférieure, 40 comme borne supérieure, $\mu=30$ et $\sigma=5$), on obtient $P(T \leq 40) \approx 0,97725$. Donc $P(T \geq 40) = 1 - 0,97725 = 0,02275$. Interprétation : Il y a environ 2,28% de chances que le temps de trajet soit supérieur à 40 minutes.

Calculer la probabilité que le temps de trajet soit compris entre 28 et 35 minutes.

On cherche $P(28 \leq T \leq 35)$. À l'aide d'une calculatrice (fonction 'normalFRep' ou 'normalcdf' avec 28 comme borne inférieure, 35 comme borne supérieure, $\mu=30$ et $\sigma=5$), on obtient : $P(28 \leq T \leq 35) \approx 0,53281$. Interprétation : Il y a environ 53,28% de chances que le temps de trajet soit compris entre 28 et 35 minutes.

Déterminer le temps de trajet $t_0$ tel que la probabilité que le temps de trajet soit inférieur à $t_0$ soit de 0,9.

On cherche $t_0$ tel que $P(T \leq t_0) = 0,9$. Ceci est une recherche d'antécédent pour la fonction de répartition. On utilise la fonction inverse de la loi normale (souvent 'InvNorm' ou 'FracNormale' sur les calculatrices) avec l'aire 0,9, $\mu=30$ et $\sigma=5$. On obtient $t_0 \approx 36,40$ minutes. Interprétation : Il y a 90% de chances que le temps de trajet soit inférieur à environ 36,40 minutes.

Les probabilités calculées sont $P(T \leq 25) \approx 0,1587$, $P(T \geq 40) \approx 0,0228$, $P(28 \leq T \leq 35) \approx 0,5328$. Le temps de trajet $t_0$ tel que $P(T \leq t_0) = 0,9$ est $t_0 \approx 36,40$ minutes.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Confondre écart-type et variance

Toujours vérifier si l'énoncé donne la variance $\sigma^2$ ou l'écart-type $\sigma$. Si c'est la variance, il faut prendre la racine carrée pour obtenir l'écart-type à utiliser dans les calculs ou la calculatrice.
Ne pas oublier que pour une variable aléatoire continue, $P(X=a) = 0$. Ainsi, $P(X < a) = P(X \leq a)$ et $P(X > a) = P(X \geq a)$.
Bien distinguer les fonctions de la calculatrice : 'normalFRep' ou 'normalcdf' pour calculer une probabilité $P(X \leq a)$ ou $P(a \leq X \leq b)$, et 'InvNorm' ou 'FracNormale' pour trouver une valeur $a$ connaissant une probabilité $P(X \leq a)$.

Exercice type BAC

Une entreprise fabrique des ampoules dont la durée de vie, en heures, est modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit une loi normale de moyenne $\mu = 1000$ heures et d'écart-type $\sigma = 50$ heures.

Calculer la probabilité qu'une ampoule ait une durée de vie inférieure à 900 heures. Arrondir le résultat à $10^{-4}$.
Calculer la probabilité qu'une ampoule ait une durée de vie comprise entre 950 heures et 1050 heures. Arrondir le résultat à $10^{-4}$.
L'entreprise souhaite garantir ses ampoules. Elle s'engage à remplacer gratuitement toute ampoule dont la durée de vie est inférieure à une certaine durée $d$. Déterminer $d$ (à l'heure près) pour que seulement 2% des ampoules soient remplacées.

On cherche $P(D \leq 900)$. La variable $D$ suit une loi $\mathcal{N}(1000, 50^2)$.
À l'aide de la calculatrice (normalFRep ou normalcdf avec $-\infty$ comme borne inférieure, 900 comme borne supérieure, $\mu=1000$ et $\sigma=50$) :
$P(D \leq 900) \approx 0,02275$.
Arrondi à $10^{-4}$, on obtient $P(D \leq 900) \approx 0,0228$.
On cherche $P(950 \leq D \leq 1050)$.
À l'aide de la calculatrice (normalFRep ou normalcdf avec 950 comme borne inférieure, 1050 comme borne supérieure, $\mu=1000$ et $\sigma=50$) :
$P(950 \leq D \leq 1050) \approx 0,682689$.
Arrondi à $10^{-4}$, on obtient $P(950 \leq D \leq 1050) \approx 0,6827$.
On cherche la durée $d$ telle que $P(D \leq d) = 0,02$.
On utilise la fonction inverse de la loi normale (InvNorm ou FracNormale sur les calculatrices) avec l'aire 0,02, $\mu=1000$ et $\sigma=50$.
On obtient $d \approx 897,85$ heures.
Arrondi à l'heure près, $d = 898$ heures.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre la loi normale et la loi normale centrée réduite ?

La loi normale $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ est une loi générale avec une moyenne $\mu$ et une variance $\sigma^2$ quelconques. La loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0, 1)$ est un cas particulier de la loi normale où la moyenne est 0 et l'écart-type est 1. Toute variable aléatoire normale $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ peut être transformée en une variable centrée réduite $Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$, qui suit alors une loi $\mathcal{N}(0, 1)$.

Pourquoi $P(X=a) = 0$ pour une loi normale ?

La loi normale est une loi de probabilité continue. Pour une variable continue, la probabilité qu'elle prenne une valeur exacte est nulle. La probabilité est représentée par l'aire sous la courbe de densité. L'aire d'un segment (un point sur l'axe des abscisses) est nulle. On calcule des probabilités sur des intervalles, par exemple $P(X \leq a)$ ou $P(a \leq X \leq b)$.

Comment utiliser la table de la loi normale centrée réduite ?

La table donne les valeurs de la fonction de répartition $\Phi(z) = P(Z \leq z)$ pour $Z \sim \mathcal{N}(0, 1)$. Pour calculer $P(X \leq a)$, on transforme $X$ en $Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$, puis on cherche $\Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$ dans la table. Pour $P(X \geq a)$, on utilise $1 - P(X < a) = 1 - \Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$. Pour $P(a \leq X \leq b)$, on utilise $\Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)$.

Quelles sont les propriétés de symétrie de la loi normale ?

La courbe de densité de la loi normale est symétrique par rapport à sa moyenne $\mu$. Cela implique que $P(X \leq \mu - k) = P(X \geq \mu + k)$ pour tout $k > 0$. Pour la loi centrée réduite, $P(Z \leq -z) = P(Z \geq z) = 1 - P(Z \leq z) = 1 - \Phi(z)$. Cette propriété est utile pour les calculs sans calculatrice ou pour vérifier des résultats.

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