La loi normale centrée réduite N(0, 1) et lecture de tables – Fiche BAC Terminale Maths

Q: Pourquoi la table ne donne-t-elle que des valeurs pour $t \geq 0$ ?

La loi normale centrée réduite est symétrique par rapport à 0. Cela signifie que $P(X \leq -t) = P(X \geq t)$. En utilisant cette propriété et le fait que l'aire totale sous la courbe est 1 ($P(X \geq t) = 1 - P(X \leq t)$), on peut calculer toutes les probabilités pour des valeurs négatives de $t$ à partir des valeurs positives. Par exemple, $P(X \leq -1) = P(X \geq 1) = 1 - P(X \leq 1)$.

Q: Qu'est-ce que la fonction de répartition $\Phi(t)$ ?

La fonction de répartition $\Phi(t)$ d'une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale centrée réduite est définie par $\Phi(t) = P(X \leq t)$. Elle représente l'aire sous la courbe de densité de probabilité de $-\infty$ jusqu'à $t$. C'est cette fonction qui est tabulée.

Q: Est-ce que $P(X=t)$ est non nul pour une loi normale ?

Non, pour toute variable aléatoire continue, la probabilité qu'elle prenne une valeur exacte est nulle. C'est-à-dire, $P(X=t) = 0$ pour tout $t \in \mathbb{R}$. C'est pourquoi $P(X t) = P(X \geq t)$.

Définition

Une variable aléatoire $X$ suit une loi normale centrée réduite, notée $\mathcal{N}(0, 1)$, si sa densité de probabilité est la fonction $\phi$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$. Cette loi est caractérisée par une espérance $E(X) = 0$ et un écart-type $\sigma(X) = 1$. La courbe représentative de $\phi$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier si la variable aléatoire est centrée et réduite avant d'utiliser la table de la loi $\mathcal{N}(0, 1)$.

Méthode — La loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,\,1)$ et lecture de tables

Comprendre la loi normale centrée réduite

La loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0, 1)$ est une loi de probabilité continue fondamentale. Sa fonction de densité $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$ est symétrique par rapport à $x=0$. L'aire totale sous la courbe est égale à 1. Les probabilités sont calculées comme des aires sous cette courbe, c'est-à-dire des intégrales : $P(a \leq X \leq b) = \int_a^b \phi(x)\,dx$.

Utiliser la table de la loi normale centrée réduite

La table de la loi normale centrée réduite donne les valeurs de $P(X \leq t)$ pour $t \geq 0$. Cette fonction est notée $\Phi(t) = P(X \leq t) = \int_{-\infty}^t \phi(x)\,dx$. Pour lire la table, on cherche la valeur de $t$ (première colonne pour la partie entière et la première décimale, première ligne pour la deuxième décimale) et on lit la probabilité correspondante.

Calculer des probabilités avec la symétrie

Grâce à la symétrie de la loi $\mathcal{N}(0, 1)$ par rapport à 0, on peut déduire d'autres probabilités :

$P(X \leq -t) = P(X \geq t) = 1 - P(X \leq t) = 1 - \Phi(t)$ pour $t \geq 0$.
$P(X \geq t) = 1 - P(X < t) = 1 - P(X \leq t)$ (car pour une loi continue, $P(X=t)=0$).
$P(-t \leq X \leq t) = P(X \leq t) - P(X < -t) = P(X \leq t) - P(X \leq -t) = \Phi(t) - (1 - \Phi(t)) = 2\Phi(t) - 1$.

Déterminer un quantile

Parfois, on cherche la valeur $t$ telle que $P(X \leq t) = p$ pour une probabilité $p$ donnée. On utilise alors la table 'à l'envers' : on cherche la probabilité $p$ dans le corps de la table et on lit la valeur de $t$ correspondante. Si $p < 0.5$, la valeur $t$ sera négative et on utilisera la propriété $P(X \leq -t) = 1 - P(X \leq t)$.

Exemple résolu

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0, 1)$. À l'aide d'une table de la loi normale centrée réduite, calculer les probabilités suivantes et déterminer un quantile.

Calculer $P(X \leq 1.96)$

On lit directement la valeur dans la table pour $t=1.96$. On cherche la ligne $1.9$ et la colonne $0.06$.
Table (extrait) :

t	0.00	...	0.06
...	...	...	...
1.9	0.9713	...	0.9750

Donc, $P(X \leq 1.96) = 0.9750$.

Calculer $P(X \geq 0.5)$

On utilise la propriété $P(X \geq t) = 1 - P(X \leq t)$.
$P(X \geq 0.5) = 1 - P(X \leq 0.5)$.
En lisant la table pour $t=0.50$ : $P(X \leq 0.50) = 0.6915$.
Donc, $P(X \geq 0.5) = 1 - 0.6915 = 0.3085$.

Calculer $P(X \leq -1.28)$

On utilise la propriété $P(X \leq -t) = 1 - P(X \leq t)$.
$P(X \leq -1.28) = 1 - P(X \leq 1.28)$.
En lisant la table pour $t=1.28$ : $P(X \leq 1.28) = 0.8997$.
Donc, $P(X \leq -1.28) = 1 - 0.8997 = 0.1003$.

Calculer $P(-1.5 \leq X \leq 2.0)$

On utilise la propriété $P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a)$.
$P(-1.5 \leq X \leq 2.0) = P(X \leq 2.0) - P(X \leq -1.5)$.
On sait que $P(X \leq -1.5) = 1 - P(X \leq 1.5)$.
En lisant la table : $P(X \leq 2.00) = 0.9772$ et $P(X \leq 1.50) = 0.9332$.
Donc, $P(X \leq -1.5) = 1 - 0.9332 = 0.0668$.
Finalement, $P(-1.5 \leq X \leq 2.0) = 0.9772 - 0.0668 = 0.9104$.

Déterminer $t$ tel que $P(X \leq t) = 0.99$

On cherche dans le corps de la table la valeur $0.99$.
Table (extrait) :

t	0.00	...	0.03	0.04
...	...	...	...	...
2.3	0.9893	...	0.9899	0.9901

La valeur la plus proche de $0.99$ est $0.9899$ pour $t=2.33$ ou $0.9901$ pour $t=2.33$. On peut prendre $t \approx 2.33$.

Les probabilités calculées sont : $P(X \leq 1.96) = 0.9750$, $P(X \geq 0.5) = 0.3085$, $P(X \leq -1.28) = 0.1003$, $P(-1.5 \leq X \leq 2.0) = 0.9104$. La valeur de $t$ telle que $P(X \leq t) = 0.99$ est environ $2.33$.

⚠️ Piège fréquent au BAC — Confusion avec la loi normale générale

Ne pas centrer et réduire une variable aléatoire $Y \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ avant d'utiliser la table $\mathcal{N}(0, 1)$. Il faut utiliser la transformation $X = \frac{Y - \mu}{\sigma}$.
Oublier la symétrie de la loi normale centrée réduite pour les valeurs négatives. $P(X \leq -t)$ n'est pas directement dans la table si $t>0$, il faut utiliser $1 - P(X \leq t)$.
Confondre $P(X < t)$ et $P(X \leq t)$ : pour une variable continue, ces probabilités sont égales, mais il est important de le savoir pour ne pas chercher à les différencier.
Mal lire la table : s'assurer de bien combiner la ligne et la colonne pour obtenir la deuxième décimale de $t$.

Exercice type BAC

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0, 1)$.

On dispose d'un extrait de la table de la fonction de répartition $\Phi$ de la loi $\mathcal{N}(0, 1)$ :

t	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	0.5000	0.5040	0.5080	0.5120	0.5160	0.5199	0.5239	0.5279	0.5319	0.5359
0.1	0.5398	0.5438	0.5478	0.5517	0.5557	0.5596	0.5636	0.5675	0.5714	0.5753
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
1.6	0.9452	0.9463	0.9474	0.9484	0.9495	0.9505	0.9515	0.9525	0.9535	0.9545
1.7	0.9554	0.9564	0.9573	0.9582	0.9591	0.9599	0.9608	0.9616	0.9625	0.9633
1.8	0.9641	0.9649	0.9656	0.9664	0.9671	0.9678	0.9686	0.9693	0.9699	0.9706
1.9	0.9713	0.9719	0.9726	0.9732	0.9738	0.9744	0.9750	0.9756	0.9761	0.9767
2.0	0.9772	0.9778	0.9783	0.9788	0.9793	0.9798	0.9803	0.9808	0.9812	0.9817

Calculer $P(X \leq 1.75)$.
Calculer $P(X \geq -0.08)$.
Déterminer la valeur de $t$ telle que $P(-t \leq X \leq t) = 0.90$.

Calcul de $P(X \leq 1.75)$ :
On lit directement la valeur dans la table pour $t=1.75$. On cherche la ligne $1.7$ et la colonne $0.05$.
D'après la table, $P(X \leq 1.75) = 0.9599$.
Calcul de $P(X \geq -0.08)$ :
On utilise la propriété de symétrie de la loi normale centrée réduite : $P(X \geq -t) = P(X \leq t)$.
Donc, $P(X \geq -0.08) = P(X \leq 0.08)$.
On lit la valeur dans la table pour $t=0.08$. On cherche la ligne $0.0$ et la colonne $0.08$.
D'après la table, $P(X \leq 0.08) = 0.5319$.
Ainsi, $P(X \geq -0.08) = 0.5319$.
Détermination de $t$ telle que $P(-t \leq X \leq t) = 0.90$ :
On utilise la propriété $P(-t \leq X \leq t) = 2P(X \leq t) - 1$.
On a $2P(X \leq t) - 1 = 0.90$.
Cela implique $2P(X \leq t) = 1 + 0.90 = 1.90$.
Donc, $P(X \leq t) = \frac{1.90}{2} = 0.95$.
Nous devons maintenant trouver la valeur de $t$ telle que $P(X \leq t) = 0.95$ en lisant la table 'à l'envers'.
En cherchant $0.95$ dans le corps de la table, nous trouvons :
- Pour $t=1.64$, $P(X \leq 1.64) = 0.9495$.
- Pour $t=1.65$, $P(X \leq 1.65) = 0.9505$.
La valeur $0.95$ se situe exactement entre ces deux probabilités. On peut donc prendre pour $t$ la moyenne de $1.64$ et $1.65$, soit $t = 1.645$.
Ainsi, $t \approx 1.645$ pour que $P(-t \leq X \leq t) = 0.90$.

Questions fréquentes

Pourquoi la table ne donne-t-elle que des valeurs pour $t \geq 0$ ?

La loi normale centrée réduite est symétrique par rapport à 0. Cela signifie que $P(X \leq -t) = P(X \geq t)$. En utilisant cette propriété et le fait que l'aire totale sous la courbe est 1 ($P(X \geq t) = 1 - P(X \leq t)$), on peut calculer toutes les probabilités pour des valeurs négatives de $t$ à partir des valeurs positives. Par exemple, $P(X \leq -1) = P(X \geq 1) = 1 - P(X \leq 1)$.

Qu'est-ce que la fonction de répartition $\Phi(t)$ ?

La fonction de répartition $\Phi(t)$ d'une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale centrée réduite est définie par $\Phi(t) = P(X \leq t)$. Elle représente l'aire sous la courbe de densité de probabilité de $-\infty$ jusqu'à $t$. C'est cette fonction qui est tabulée.

Comment savoir si une variable aléatoire suit une loi normale centrée réduite ?

Une variable aléatoire $X$ suit une loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0, 1)$ si son espérance est $0$ et son écart-type est $1$. Si une variable aléatoire $Y$ suit une loi normale $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$, alors la variable $X = \frac{Y - \mu}{\sigma}$ suit une loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0, 1)$. C'est cette transformation qui permet d'utiliser les tables de la loi $\mathcal{N}(0, 1)$ pour n'importe quelle loi normale.

Est-ce que $P(X=t)$ est non nul pour une loi normale ?

Non, pour toute variable aléatoire continue, la probabilité qu'elle prenne une valeur exacte est nulle. C'est-à-dire, $P(X=t) = 0$ pour tout $t \in \mathbb{R}$. C'est pourquoi $P(X < t) = P(X \leq t)$ et $P(X > t) = P(X \geq t)$.

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