La loi normale N(μ, σ²) : courbe de Gauss et symétrie – Fiche BAC Terminale Maths

Q: Qu'est-ce que la loi normale centrée réduite ?

La loi normale centrée réduite est une loi normale particulière de paramètres $\mu = 0$ et $\sigma = 1$. Elle est notée $\mathcal{N}(0, 1)$. Toute variable aléatoire $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ peut être transformée en une variable $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ qui suit une loi $\mathcal{N}(0, 1)$. Cette transformation est appelée 'centrage et réduction'.

Q: Comment interpréter les paramètres $\mu$ et $\sigma$ ?

Le paramètre $\mu$ (mu) est l'espérance de la variable aléatoire, il représente la moyenne et le centre de symétrie de la courbe de Gauss. Le paramètre $\sigma$ (sigma) est l'écart-type, il mesure la dispersion des données autour de la moyenne. Plus $\sigma$ est grand, plus la courbe est étalée (plate) ; plus $\sigma$ est petit, plus la courbe est resserrée (pointue).

Q: Pourquoi la courbe de Gauss est-elle symétrique ?

La fonction de densité de la loi normale est $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$. Le terme $(x-\mu)^2$ est au carré, ce qui signifie que pour des valeurs $x_1 = \mu - a$ et $x_2 = \mu + a$, le terme $(x-\mu)^2$ sera le même : $((\mu - a) - \mu)^2 = (-a)^2 = a^2$ et $((\mu + a) - \mu)^2 = a^2$. Par conséquent, $f(\mu - a) = f(\mu + a)$, ce qui démontre la symétrie de la courbe par rapport à la droite $x = \mu$.

Q: Quels sont les intervalles de probabilité remarquables pour une loi normale ?

Pour toute variable aléatoire $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$, on a les probabilités approximatives suivantes :$P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0,683$ (environ 68,3%)$P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0,954$ (environ 95,4%)$P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 0,997$ (environ 99,7%)Ces intervalles sont très utiles pour avoir un ordre de grandeur rapide des probabilités.

Définition

Une variable aléatoire $X$ suit une loi normale $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ si sa densité de probabilité est donnée par la fonction $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. La courbe représentative de cette fonction est appelée courbe de Gauss ou cloche de Gauss, elle est symétrique par rapport à la droite d'équation $x = \mu$. Le paramètre $\mu$ représente l'espérance de $X$ et $\sigma^2$ sa variance (donc $\sigma$ son écart-type).

💡 Bon réflexe : Toujours vérifier si la calculatrice demande l'écart-type $\sigma$ ou la variance $\sigma^2$ pour éviter les erreurs de saisie.

Méthode — La loi normale $\mathcal{N}(\mu,\,\sigma^2)$ : courbe de Gauss et symétrie

Identifier les paramètres $\mu$ et $\sigma$

Pour une loi normale $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$, il est essentiel de bien identifier l'espérance $\mu$ et l'écart-type $\sigma$ (ou la variance $\sigma^2$). Ces paramètres définissent la position et la dispersion de la courbe de Gauss. $\mu$ est le centre de symétrie et le maximum de la courbe, tandis que $\sigma$ détermine son étalement.

Utiliser la symétrie de la courbe de Gauss

La courbe de Gauss est symétrique par rapport à la droite d'équation $x = \mu$. Cette propriété est fondamentale pour calculer des probabilités. Par exemple, $P(X \leq \mu - a) = P(X \geq \mu + a)$ et $P(X \leq \mu) = P(X \geq \mu) = 0,5$. De plus, $P(X \in [\mu - a, \mu + a]) = 2 \times P(\mu \leq X \leq \mu + a)$.

Utiliser la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0, 1)$

Toute variable aléatoire $X$ suivant une loi $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ peut être transformée en une variable aléatoire $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ qui suit une loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0, 1)$. Cette transformation est cruciale car les tables de valeurs et les calculatrices sont souvent basées sur la loi $\mathcal{N}(0, 1)$. Ainsi, $P(X \leq x) = P\left(Z \leq \frac{x - \mu}{\sigma}\right)$.

Calculer des probabilités avec la calculatrice

Les calculatrices graphiques (ou logiciels) permettent de calculer directement des probabilités de la forme $P(X \leq a)$, $P(X \geq a)$ ou $P(a \leq X \leq b)$ pour une loi normale $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ donnée. Il est important de maîtriser l'utilisation de la fonction 'normalcdf' (ou équivalent) en spécifiant les bornes, $\mu$ et $\sigma$. Pour $P(X \leq a)$, la borne inférieure est $-\infty$ (représentée par un très petit nombre négatif comme $-10^{99}$). Pour $P(X \geq a)$, la borne supérieure est $+\infty$ (représentée par un très grand nombre positif comme $10^{99}$). Pour $P(a \leq X \leq b)$, on utilise $P(X \leq b) - P(X \leq a)$ ou la fonction directe de la calculatrice.

Exemple résolu

Une machine remplit des paquets de sucre. Le poids $X$ (en grammes) d'un paquet suit une loi normale d'espérance $\mu = 1000$ g et d'écart-type $\sigma = 5$ g. On souhaite déterminer la probabilité qu'un paquet pèse entre 990 g et 1010 g.

Identifier les paramètres de la loi normale.

La variable aléatoire $X$ suit une loi normale $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ avec $\mu = 1000$ et $\sigma = 5$. Donc $X \sim \mathcal{N}(1000, 5^2)$. Nous cherchons $P(990 \leq X \leq 1010)$.

Utiliser la symétrie pour simplifier le problème (facultatif mais utile pour la compréhension).

La courbe de Gauss est symétrique par rapport à $x = 1000$. Les bornes 990 et 1010 sont équidistantes de $\mu$: $1000 - 990 = 10$ et $1010 - 1000 = 10$. Donc $P(990 \leq X \leq 1010) = P(1000 - 10 \leq X \leq 1000 + 10)$. Cela peut être calculé comme $2 \times P(1000 \leq X \leq 1010)$.

Calculer la probabilité à l'aide de la calculatrice.

En utilisant la fonction de calcul de probabilité d'une loi normale sur la calculatrice (souvent 'normalcdf' ou 'NormalFRep'), on entre les paramètres :
Borne inférieure : 990
Borne supérieure : 1010
Espérance $\mu$ : 1000
Écart-type $\sigma$ : 5
La calculatrice renvoie la valeur de la probabilité.

Alternative : Centrer et réduire la variable aléatoire.

On peut aussi transformer $X$ en $Z = \frac{X - 1000}{5}$, qui suit une loi $\mathcal{N}(0, 1)$.
Pour $X = 990$, $Z = \frac{990 - 1000}{5} = \frac{-10}{5} = -2$.
Pour $X = 1010$, $Z = \frac{1010 - 1000}{5} = \frac{10}{5} = 2$.
Donc $P(990 \leq X \leq 1010) = P(-2 \leq Z \leq 2)$.
Avec la calculatrice pour $\mathcal{N}(0, 1)$ :
Borne inférieure : -2
Borne supérieure : 2
Espérance $\mu$ : 0
Écart-type $\sigma$ : 1
La calculatrice renvoie la même valeur.

Après calcul, $P(990 \leq X \leq 1010) \approx 0,9545$. Il y a environ 95,45% de chances qu'un paquet pèse entre 990 g et 1010 g. Ce résultat est cohérent avec l'intervalle de fluctuation à 2 écarts-types autour de la moyenne (environ 95,4% pour $P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma)$).

⚠️ Piège fréquent au BAC — Confusion $\sigma$ et $\sigma^2$

Ne pas confondre l'écart-type $\sigma$ et la variance $\sigma^2$. La notation $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ indique la variance, mais la calculatrice demande souvent l'écart-type $\sigma$.
Oublier la symétrie de la courbe de Gauss, ce qui peut compliquer inutilement certains calculs de probabilités (par exemple, $P(X \leq \mu - a)$ et $P(X \geq \mu + a)$).
Mal utiliser les bornes infinies sur la calculatrice : pour $P(X \leq a)$, utiliser un nombre très petit (ex: $-10^{99}$) comme borne inférieure, et pour $P(X \geq a)$, un nombre très grand (ex: $10^{99}$) comme borne supérieure.
Arrondir trop tôt les valeurs intermédiaires, ce qui peut entraîner des erreurs significatives sur le résultat final des probabilités.

Exercice type BAC

Une entreprise fabrique des ampoules dont la durée de vie, exprimée en heures, est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ avec $\mu = 10000$ heures et $\sigma = 500$ heures.

Quelle est la probabilité qu'une ampoule ait une durée de vie inférieure à 9000 heures ?
Quelle est la probabilité qu'une ampoule ait une durée de vie comprise entre 9500 heures et 10500 heures ?
L'entreprise garantit ses ampoules pendant 9200 heures. Quel pourcentage d'ampoules l'entreprise doit-elle s'attendre à remplacer sous garantie ?

On cherche $P(X \leq 9000)$.
La variable aléatoire $X$ suit une loi normale $\mathcal{N}(10000, 500^2)$.
En utilisant la calculatrice (fonction normalcdf ou équivalent) :
- Borne inférieure : $-10^{99}$ (ou un nombre très petit)
- Borne supérieure : $9000$
- Espérance $\mu$ : $10000$
- Écart-type $\sigma$ : $500$
$P(X \leq 9000) \approx 0,02275$.
La probabilité qu'une ampoule ait une durée de vie inférieure à 9000 heures est d'environ 2,28%.
On cherche $P(9500 \leq X \leq 10500)$.
En utilisant la calculatrice :
- Borne inférieure : $9500$
- Borne supérieure : $10500$
- Espérance $\mu$ : $10000$
- Écart-type $\sigma$ : $500$
$P(9500 \leq X \leq 10500) \approx 0,68269$.
La probabilité qu'une ampoule ait une durée de vie comprise entre 9500 heures et 10500 heures est d'environ 68,27%. On remarque que cet intervalle correspond à $[\mu - \sigma, \mu + \sigma]$, pour lequel la probabilité est d'environ 68,3%.
L'entreprise doit remplacer les ampoules dont la durée de vie est inférieure à 9200 heures. On cherche donc $P(X < 9200)$.
En utilisant la calculatrice :
- Borne inférieure : $-10^{99}$
- Borne supérieure : $9200$
- Espérance $\mu$ : $10000$
- Écart-type $\sigma$ : $500$
$P(X < 9200) \approx 0,054799$.
L'entreprise doit s'attendre à remplacer environ 5,48% de ses ampoules sous garantie.

Questions fréquentes

Qu'est-ce que la loi normale centrée réduite ?

La loi normale centrée réduite est une loi normale particulière de paramètres $\mu = 0$ et $\sigma = 1$. Elle est notée $\mathcal{N}(0, 1)$. Toute variable aléatoire $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ peut être transformée en une variable $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ qui suit une loi $\mathcal{N}(0, 1)$. Cette transformation est appelée 'centrage et réduction'.

Comment interpréter les paramètres $\mu$ et $\sigma$ ?

Le paramètre $\mu$ (mu) est l'espérance de la variable aléatoire, il représente la moyenne et le centre de symétrie de la courbe de Gauss. Le paramètre $\sigma$ (sigma) est l'écart-type, il mesure la dispersion des données autour de la moyenne. Plus $\sigma$ est grand, plus la courbe est étalée (plate) ; plus $\sigma$ est petit, plus la courbe est resserrée (pointue).

Pourquoi la courbe de Gauss est-elle symétrique ?

La fonction de densité de la loi normale est $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$. Le terme $(x-\mu)^2$ est au carré, ce qui signifie que pour des valeurs $x_1 = \mu - a$ et $x_2 = \mu + a$, le terme $(x-\mu)^2$ sera le même : $((\mu - a) - \mu)^2 = (-a)^2 = a^2$ et $((\mu + a) - \mu)^2 = a^2$. Par conséquent, $f(\mu - a) = f(\mu + a)$, ce qui démontre la symétrie de la courbe par rapport à la droite $x = \mu$.

Quels sont les intervalles de probabilité remarquables pour une loi normale ?

Pour toute variable aléatoire $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$, on a les probabilités approximatives suivantes :

$P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0,683$ (environ 68,3%)
$P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0,954$ (environ 95,4%)
$P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 0,997$ (environ 99,7%)

Ces intervalles sont très utiles pour avoir un ordre de grandeur rapide des probabilités.

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