Courbe représentative d'une fonction – Fiche Maths Seconde

Q: Comment savoir si un point appartient à la courbe représentative d'une fonction ?

Un point P(x_P\,;y_P) appartient à la courbe représentative d'une fonction f si et seulement si son ordonnée y_P est égale à l'image de son abscisse x_P par la fonction, c'est-à-dire si y_P = f(x_P). Il suffit de remplacer x par x_P dans l'expression de f(x) et de vérifier si le résultat est y_P.

Q: Comment choisir les valeurs de x pour le tableau de valeurs ?

Il faut choisir des valeurs de x qui couvrent l'ensemble de définition de la fonction. Il est souvent judicieux de prendre des valeurs entières, des valeurs proches de 0, et des valeurs aux extrémités de l'intervalle de définition. Pour les fonctions plus complexes, on peut aussi chercher des points particuliers comme les intersections avec les axes ou les sommets.

Définition

La courbe représentative d'une fonction $f$ est l'ensemble de tous les points $M(x\,;y)$ du plan dont les coordonnées vérifient l'égalité $y = f(x)$. Chaque point de la courbe correspond à une valeur $x$ de l'ensemble de définition de $f$, et son ordonnée $y$ est l'image de $x$ par $f$.

Un point M(x ; y) est sur la courbe de f lorsque y = f(x). Ici f(x) = 0,5x² − x − 1,5.

Bon réflexe : Toujours vérifier que chaque $x$ n'a qu'une seule image $f(x)$ pour éviter les erreurs de tracé.

Méthode : Courbe représentative d'une fonction

Calculer des images

Pour tracer la courbe, on choisit plusieurs valeurs de $x$ dans l'ensemble de définition de la fonction $f$. Pour chaque $x$, on calcule son image $y = f(x)$. Plus on calcule de points, plus le tracé sera précis.

Construire un tableau de valeurs

On organise les couples $(x\,;f(x))$ dans un tableau de valeurs. Cela permet de visualiser les points à placer et de vérifier la cohérence des calculs.

Placer les points dans un repère

Dans un repère orthogonal (ou orthonormé), on place chaque point $M(x\,;y)$ dont les coordonnées figurent dans le tableau de valeurs. L'axe des abscisses correspond aux valeurs de $x$, et l'axe des ordonnées aux valeurs de $y = f(x)$.

Relier les points

On relie les points placés par une courbe lisse. Attention, il ne s'agit pas toujours d'une droite. La courbe doit être continue si la fonction est définie sur un intervalle, et ne doit pas revenir en arrière sur l'axe des abscisses (une fonction ne peut avoir qu'une seule image pour chaque $x$).

Exemple résolu

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-3\,;3]$ par $f(x) = x^2 - 2x - 1$. Tracer sa courbe représentative.

Calculer les images pour quelques valeurs de $x$.

$f(-3) = (-3)^2 - 2×(-3) - 1 = 9 + 6 - 1 = 14$ $f(-2) = (-2)^2 - 2×(-2) - 1 = 4 + 4 - 1 = 7$ $f(-1) = (-1)^2 - 2×(-1) - 1 = 1 + 2 - 1 = 2$ $f(0) = 0^2 - 2×0 - 1 = -1$ $f(1) = 1^2 - 2×1 - 1 = 1 - 2 - 1 = -2$ $f(2) = 2^2 - 2×2 - 1 = 4 - 4 - 1 = -1$ $f(3) = 3^2 - 2×3 - 1 = 9 - 6 - 1 = 2$

Construire le tableau de valeurs.

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	$14$	$7$	$2$	$-1$	$-2$	$-1$	$2$

Placer les points dans un repère.

Les points à placer sont $A(-3\,;14)$, $B(-2\,;7)$, $C(-1\,;2)$, $D(0\,;-1)$, $E(1\,;-2)$, $F(2\,;-1)$, $G(3\,;2)$. On choisit une échelle adaptée pour que tous les points soient visibles.

Relier les points.

On trace une courbe lisse passant par tous ces points. On observe que la courbe est une parabole, caractéristique des fonctions du second degré.

La courbe représentative de la fonction $f(x) = x^2 - 2x - 1$ est une parabole passant par les points calculés. Elle est symétrique par rapport à la droite verticale d'équation $x=1$ (l'abscisse du sommet de la parabole).

Erreurs courantes lors du tracé

Relier les points avec des segments de droite : la courbe d'une fonction n'est pas toujours une succession de segments. Il faut tracer une courbe lisse et continue.
Ne pas respecter l'échelle des axes : un repère mal gradué ou une échelle inadaptée peut déformer la courbe et rendre la lecture des informations fausse.
Confondre $x$ et $f(x)$ : l'abscisse est $x$, l'ordonnée est $f(x)$. Un point est toujours $(x\,;f(x))$, jamais $(f(x)\,;x)$.
Tracer une courbe qui revient en arrière sur l'axe des abscisses : une fonction associe une unique image à chaque antécédent. Si la courbe "revient en arrière", cela signifierait qu'une même valeur de $x$ aurait plusieurs images, ce qui n'est pas possible pour une fonction.

Exercice type contrôle

Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[-2\,;4]$ par $g(x) = -x + 3$.

Calculer les images de $-2$, $0$, $2$ et $4$ par la fonction $g$.
Construire un tableau de valeurs pour ces points.
Que peut-on dire de la courbe représentative de cette fonction ? Justifier.

Calcul des images :
- $g(-2) = -(-2) + 3 = 2 + 3 = 5$
- $g(0) = -0 + 3 = 3$
- $g(2) = -2 + 3 = 1$
- $g(4) = -4 + 3 = -1$
Tableau de valeurs :
$x$ $-2$ $0$ $2$ $4$
$g(x)$ $5$ $3$ $1$ $-1$
La fonction $g(x) = -x + 3$ est une fonction affine de la forme $ax+b$ avec $a = -1$ et $b = 3$. La courbe représentative d'une fonction affine est toujours une droite. On peut donc dire que la courbe représentative de $g$ est une droite.

$x$	$-2$	$0$	$2$	$4$
$g(x)$	$5$	$3$	$1$	$-1$

Questions fréquentes

Comment savoir si un point appartient à la courbe représentative d'une fonction ?

Un point $P(x_P\,;y_P)$ appartient à la courbe représentative d'une fonction $f$ si et seulement si son ordonnée $y_P$ est égale à l'image de son abscisse $x_P$ par la fonction, c'est-à-dire si $y_P = f(x_P)$. Il suffit de remplacer $x$ par $x_P$ dans l'expression de $f(x)$ et de vérifier si le résultat est $y_P$.

Est-ce que toutes les courbes sont des droites ou des paraboles ?

Non, absolument pas ! Les fonctions affines ont des droites pour courbes représentatives, et les fonctions du second degré (comme $f(x)=x^2$) ont des paraboles. Mais il existe une infinité d'autres types de fonctions (cubiques, inverses, racines carrées, etc.) dont les courbes ont des formes très variées. Il est important de calculer suffisamment de points pour bien appréhender la forme de la courbe.

Comment choisir les valeurs de $x$ pour le tableau de valeurs ?

Il faut choisir des valeurs de $x$ qui couvrent l'ensemble de définition de la fonction. Il est souvent judicieux de prendre des valeurs entières, des valeurs proches de $0$, et des valeurs aux extrémités de l'intervalle de définition. Pour les fonctions plus complexes, on peut aussi chercher des points particuliers comme les intersections avec les axes ou les sommets.

Peut-on utiliser une calculatrice graphique pour tracer une courbe ?

Oui, les calculatrices graphiques et les logiciels comme GeoGebra sont d'excellents outils pour visualiser rapidement la courbe d'une fonction. Cependant, il est essentiel de comprendre la méthode manuelle et de savoir calculer les points soi-même. En contrôle, on vous demandera souvent de justifier le tracé par un tableau de valeurs.

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