Résolution graphique d'équations – Fiche Maths Seconde

Définition

La résolution graphique d'une équation consiste à trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles deux fonctions $f$ et $g$ ont la même image. Graphiquement, cela revient à déterminer les abscisses des points d'intersection des courbes représentatives de ces fonctions, notées $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
Pour résoudre l'équation $f(x) = k$ (où $k$ est un nombre réel), on cherche les abscisses des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ avec la droite horizontale d'équation $y = k$.
Pour résoudre l'équation $f(x) = g(x)$, on cherche les abscisses des points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.

Bon réflexe : Toujours vérifier que tu lis bien les abscisses (valeurs sur l'axe horizontal) et non les ordonnées (valeurs sur l'axe vertical) pour les solutions d'une équation.

Méthode : Résolution graphique d'équations

Tracer les courbes

Tracer avec précision les courbes représentatives des fonctions impliquées dans l'équation. Si l'équation est de la forme $f(x) = k$, tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ et la droite horizontale d'équation $y = k$. Si l'équation est de la forme $f(x) = g(x)$, tracer les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.

Identifier les points d'intersection

Repérer tous les points où les courbes se coupent. Chaque point d'intersection correspond à une solution de l'équation.

Lire les abscisses

Pour chaque point d'intersection, lire son abscisse sur l'axe des $x$. Ces abscisses sont les solutions de l'équation. Il est important de noter que les solutions graphiques sont souvent des valeurs approchées.

Écrire l'ensemble des solutions

Regrouper toutes les abscisses trouvées dans un ensemble de solutions $S$. Par exemple, $S = \{x_1\,; x_2\}$.

Exemple résolu

Soit la fonction $f$ définie sur $[-2\,; 4]$ par $f(x) = x^2 - 2x - 1$. Sa courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est donnée ci-dessous. Résoudre graphiquement les équations suivantes :
1. $f(x) = 2$
2. $f(x) = -2$
3. $f(x) = 0$

Courbe de f(x) = x² − 2x − 1 sur [−2 ; 4] et droite y = 2 : elles se coupent en x = −1 et x = 3.

Résoudre $f(x) = 2$

On trace la droite horizontale d'équation $y = 2$.
Elle coupe $\mathcal{C}_f$ en deux points, d'abscisses $x_1 = -1$ et $x_2 = 3$.
L'ensemble des solutions est $S_1 = \{-1\,; 3\}$. On peut le vérifier par le calcul : $f(-1) = 1 + 2 - 1 = 2$ et $f(3) = 9 - 6 - 1 = 2$.

Résoudre $f(x) = -2$

On trace la droite horizontale d'équation $y = -2$.
On observe les points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec cette droite.
Il y a un seul point d'intersection (le sommet de la parabole). Son abscisse est $x = 1$.
L'ensemble des solutions est $S_2 = \{1\}$.

Résoudre $f(x) = 0$

On trace la droite horizontale d'équation $y = 0$ (l'axe des abscisses).
On observe les points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec cette droite.
Il y a deux points d'intersection. Leurs abscisses sont $x_1 \approx -0{,}4$ et $x_2 \approx 2{,}4$.
L'ensemble des solutions est $S_3 = \{-0{,}4\,; 2{,}4\}$.

Les solutions graphiques sont des approximations. Pour des solutions exactes, il faudrait résoudre les équations algébriquement.

Confondre abscisses et ordonnées

Ne pas lire l'abscisse du point d'intersection mais son ordonnée. Les solutions d'une équation sont des valeurs de $x$, donc des abscisses.
Oublier des points d'intersection si la courbe est complexe ou si le tracé n'est pas complet sur l'intervalle d'étude.
Confondre la résolution d'une équation ($f(x)=k$) avec la résolution d'une inéquation ($f(x)\lt k$), qui demande de lire des intervalles et non des points.

Exercice type contrôle

Les fonctions $f$ et $g$ sont définies sur $[-3\,; 3]$ par $f(x) = x^2 - 3$ et $g(x) = x - 1$. Leurs courbes $\mathcal{C}_f$ (en bleu) et $\mathcal{C}_g$ (en rouge) sont tracées ci-dessous.

𝒞f : f(x) = x² − 3 (en bleu) ; 𝒞g : g(x) = x − 1 (en rouge), sur [−3 ; 3].

Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 1$.
Résoudre graphiquement l'équation $g(x) = -1$.
Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = g(x)$, puis vérifier par le calcul.

La droite $y = 1$ coupe $\mathcal{C}_f$ aux points d'abscisses $-2$ et $2$ : $S_1 = \{-2\,; 2\}$ (en effet $(-2)^2 - 3 = 1$ et $2^2 - 3 = 1$).
La droite $y = -1$ coupe $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse $0$ : $S_2 = \{0\}$.
Les courbes se coupent aux points d'abscisses $-1$ et $2$ : $S_3 = \{-1\,; 2\}$.
Vérification : $f(-1) = 1 - 3 = -2$ et $g(-1) = -1 - 1 = -2$ ; $f(2) = 4 - 3 = 1$ et $g(2) = 2 - 1 = 1$.

Questions fréquentes

Peut-on toujours trouver des solutions exactes graphiquement ?

Non, les solutions obtenues graphiquement sont souvent des valeurs approchées, surtout si les points d'intersection ne tombent pas exactement sur des graduations entières ou demi-entières. Pour des solutions exactes, il faut généralement passer par la résolution algébrique.

Que signifie l'absence de point d'intersection ?

Si les courbes ne se coupent pas, cela signifie que l'équation n'a aucune solution réelle. L'ensemble des solutions est alors l'ensemble vide, noté $\emptyset$.

Comment savoir quelle courbe correspond à quelle fonction ?

L'énoncé doit toujours préciser quelle courbe représente quelle fonction. Par exemple, '$\mathcal{C}_f$ est la courbe en bleu' ou 'la courbe de $f(x)$ est la parabole'.

Est-ce que la résolution graphique est suffisante pour un contrôle ?

Si la consigne est 'Résoudre graphiquement', alors oui, la lecture sur le graphique est la méthode attendue. Si la consigne est 'Résoudre l'équation', il faut privilégier la méthode algébrique pour obtenir des solutions exactes, sauf si le graphique est la seule information disponible.

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