Définition
L'ensemble de définition d'une fonction $f$, noté $D_f$, est l'ensemble de toutes les valeurs réelles $x$ pour lesquelles le calcul de $f(x)$ est possible. En Seconde, il y a principalement deux cas où le calcul de $f(x)$ est impossible : la division par zéro et la racine carrée d'un nombre strictement négatif.
Bon réflexe : Face à une fonction, cherche d'abord les dénominateurs et les racines carrées pour identifier les contraintes.
Méthode : Ensemble de définition d'une fonction
1
Identifier la forme de la fonction
Regarder si la fonction $f(x)$ contient une fraction (un quotient) ou une racine carrée.
2
Appliquer les contraintes
- Si $f(x)$ contient une fraction $\frac{N(x)}{D(x)}$, le dénominateur $D(x)$ ne doit pas être nul : $D(x) \neq 0$.
- Si $f(x)$ contient une racine carrée $\sqrt{A(x)}$, l'expression sous la racine $A(x)$ doit être positive ou nulle : $A(x) \geq 0$.
3
Résoudre l'équation ou l'inéquation
Résoudre $D(x) = 0$ pour trouver les valeurs interdites, ou résoudre $A(x) \geq 0$ pour trouver les valeurs autorisées.
4
Exprimer l'ensemble de définition
Écrire l'ensemble des valeurs de $x$ sous forme d'intervalle(s) ou d'union d'intervalles. L'ensemble des nombres réels est noté $\mathbb{R}$.
Exemple résolu
Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{3x+1}{x-2}$.
1
Identifier la contrainte
La fonction $f(x)$ est une fraction. Le dénominateur ne doit pas être nul.
2
Poser la condition
Le dénominateur est $x-2$. On doit avoir $x-2 \neq 0$.
3
Résoudre l'équation
On résout l'équation $x-2 = 0$. On trouve $x = 2$.
Donc, la valeur $x=2$ est interdite.
Donc, la valeur $x=2$ est interdite.
4
Écrire l'ensemble de définition
Toutes les valeurs réelles sont autorisées, sauf $2$.
L'ensemble de définition est $D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ ou $D_f = ]-\infty\,;2[ \cup ]2\,;+\infty[.$
L'ensemble de définition est $D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ ou $D_f = ]-\infty\,;2[ \cup ]2\,;+\infty[.$
L'ensemble de définition de la fonction $f$ est $D_f = ]-\infty\,;2[ \cup ]2\,;+\infty[$.
Piège fréquent en Seconde : Confondre numérateur et dénominateur
- Ne pas vérifier le numérateur : le numérateur d'une fraction peut être nul, cela ne pose aucun problème pour le calcul de la fonction. Seul le dénominateur est concerné par la contrainte $D(x) \neq 0$.
- Oublier une contrainte : si une fonction contient à la fois une fraction et une racine carrée, il faut appliquer les deux contraintes simultanément.
- Erreur dans la résolution d'inéquations : pour les racines carrées, il faut souvent résoudre une inéquation du type $ax+b \geq 0$. Une erreur de signe ou de sens de l'inégalité est fréquente.
Exercice type contrôle
Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = \sqrt{5-x}$.- Quelle est la contrainte à respecter pour que le calcul de $g(x)$ soit possible ?
- Résoudre l'inéquation correspondante.
- En déduire l'ensemble de définition de la fonction $g$.
- Pour que le calcul de $g(x)$ soit possible, l'expression sous la racine carrée doit être positive ou nulle. Donc, $5-x \geq 0$.
- Résolvons l'inéquation $5-x \geq 0$ :
$\quad -x \geq -5$
$\quad x \leq 5$ (on change le sens de l'inégalité en multipliant par $-1$). - L'ensemble de définition de la fonction $g$ est l'ensemble de tous les nombres réels $x$ inférieurs ou égaux à $5$.
Donc, $D_g = ]-\infty\,;5]$.
Questions fréquentes
Pourquoi ne peut-on pas diviser par zéro ?
La division est l'opération inverse de la multiplication. Si on avait $\frac{a}{0} = b$, cela signifierait que $a = b \times 0$. Or, n'importe quel nombre multiplié par zéro donne zéro. Donc, si $a \neq 0$, il n'y a pas de solution pour $b$. Si $a = 0$, alors $0 = b \times 0$ est vrai pour n'importe quel $b$, ce qui signifie que le résultat ne serait pas unique. Pour éviter ces ambiguïtés et impossibilités, la division par zéro est indéfinie.
Pourquoi ne peut-on pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif ?
Par définition, la racine carrée d'un nombre $A$ est le nombre positif $x$ tel que $x^2 = A$. Or, le carré de n'importe quel nombre réel (positif ou négatif) est toujours un nombre positif ou nul. Par exemple, $3^2 = 9$ et $(-3)^2 = 9$. Il n'existe aucun nombre réel dont le carré est négatif. C'est pourquoi $\sqrt{A}$ n'est définie dans l'ensemble des nombres réels que si $A \geq 0$.
Comment savoir si une fonction est définie sur $\mathbb{R}$ ?
Une fonction est définie sur $\mathbb{R}$ si elle ne contient ni dénominateur (donc pas de division par $0$ possible) ni racine carrée (donc pas de nombre négatif sous la racine). C'est le cas des fonctions affines ($f(x) = ax+b$), des fonctions linéaires ($f(x) = ax$), des fonctions constantes ($f(x) = c$) et des fonctions polynomiales ($f(x) = x^2$, $f(x) = x^3$, etc.).
Comment écrire l'ensemble de définition si plusieurs valeurs sont interdites ?
Si plusieurs valeurs sont interdites, par exemple $x=a$ et $x=b$, l'ensemble de définition s'écrit comme une union d'intervalles. Par exemple, si $x=1$ et $x=3$ sont interdites, $D_f = ]-\infty\,;1[ \cup ]1\,;3[ \cup ]3\,;+\infty[$. Si une seule valeur $a$ est interdite, on peut aussi écrire $\mathbb{R} \setminus \{a\}$.
Pour aller plus loin
Le passage en Seconde est difficile ?
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