Fonctions · Fiche N°39 / 80

Notion de fonction : image et antécédent

Définition, méthode pas à pas, exemple corrigé et exercice type contrôle de Seconde.

Maths Seconde Lecture : 5 min Programme officiel 2019

Définition

Une fonction $f$ est un procédé qui, à chaque nombre $x$ d'un ensemble de départ, associe un unique nombre $y$. On dit que $y$ est l'image de $x$ par la fonction $f$, et on note $y = f(x)$. Le nombre $x$ est un antécédent de $y$ par la fonction $f$. Un nombre peut avoir plusieurs antécédents, mais une image est toujours unique.

Bon réflexe : Quand on te donne $x$, tu calcules $f(x)$ (l'image). Quand on te donne $f(x)$, tu résous l'équation pour trouver $x$ (l'antécédent).

Méthode : Notion de fonction : image et antécédent

1

Calculer l'image d'un nombre

Pour calculer l'image d'un nombre $x$ par une fonction $f$ donnée par une expression algébrique, on remplace $x$ par sa valeur dans l'expression et on effectue le calcul. L'image est unique.

2

Déterminer les antécédents d'un nombre

Pour déterminer les antécédents d'un nombre $y$ par une fonction $f(x)$, on résout l'équation $f(x) = y$. Cette équation peut avoir zéro, un ou plusieurs solutions. Chaque solution est un antécédent de $y$.

3

Lire une image ou un antécédent sur une courbe

Sur la courbe représentative d'une fonction $f$ :

  • Pour lire l'image de $x$, on se place sur l'axe des abscisses à la valeur $x$, on monte (ou descend) jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée $y$ correspondante sur l'axe des ordonnées.
  • Pour lire les antécédents de $y$, on se place sur l'axe des ordonnées à la valeur $y$, on trace une droite horizontale jusqu'à la courbe, puis on lit les abscisses $x$ des points d'intersection sur l'axe des abscisses.

Exemple résolu

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$.
1
Calculer l'image de $2$ par $f$.
On remplace $x$ par $2$ dans l'expression de $f(x)$ :
$f(2) = 2 × (2)^2 - 3 × 2 + 1$
$f(2) = 2 × 4 - 6 + 1$
$f(2) = 8 - 6 + 1$
$f(2) = 3$
2
Déterminer les antécédents de $1$ par $f$.
On résout l'équation $f(x) = 1$ :
$2x^2 - 3x + 1 = 1$
$2x^2 - 3x = 0$
On factorise par $x$ :
$x(2x - 3) = 0$
Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l'un des facteurs est nul :
$x = 0$ ou $2x - 3 = 0$
$x = 0$ ou $2x = 3$
$x = 0$ ou $x = \frac{3}{2}$
L'image de $2$ par $f$ est $3$. Les antécédents de $1$ par $f$ sont $0$ et $\frac{3}{2}$ (ou $1{,}5$).

Confusion image/antécédent

  1. Une image est toujours unique. Si on trouve plusieurs valeurs pour $f(x)$, c'est une erreur de calcul.
  2. Un antécédent n'est pas toujours unique. Il est possible de trouver $0$, $1$, $2$ ou plus d'antécédents pour un même nombre.
  3. Ne pas confondre $f(x)$ (l'image) et $x$ (l'antécédent). $f(x)$ est sur l'axe des ordonnées, $x$ sur l'axe des abscisses.

Exercice type contrôle

Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = -5x + 7$.
  1. Calculer l'image de $-2$ par la fonction $g$.
  2. Déterminer l'antécédent de $12$ par la fonction $g$.
  1. Pour calculer l'image de $-2$ par $g$, on remplace $x$ par $-2$ dans l'expression de $g(x)$ :
    $g(-2) = -5 × (-2) + 7$
    $g(-2) = 10 + 7$
    $g(-2) = 17$
    L'image de $-2$ par la fonction $g$ est $17$.
  2. Pour déterminer l'antécédent de $12$ par $g$, on résout l'équation $g(x) = 12$ :
    $-5x + 7 = 12$
    $-5x = 12 - 7$
    $-5x = 5$
    $x = \frac{5}{-5}$
    $x = -1$
    L'antécédent de $12$ par la fonction $g$ est $-1$.

Questions fréquentes

Peut-on avoir une fonction sans expression algébrique ?
Oui, une fonction peut être définie par un tableau de valeurs, une courbe représentative, ou même une description textuelle. L'important est qu'à chaque valeur de départ corresponde une unique valeur d'arrivée.
Pourquoi dit-on 'un' antécédent et 'l' 'image ?
On dit 'l'image' car l'image d'un nombre par une fonction est toujours unique. On dit 'un antécédent' car un nombre peut avoir plusieurs antécédents (ou aucun) par une fonction donnée.
Qu'est-ce que l'ensemble de définition d'une fonction ?
L'ensemble de définition d'une fonction est l'ensemble de tous les nombres $x$ pour lesquels la fonction est définie, c'est-à-dire pour lesquels on peut calculer une image. Par exemple, la fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ n'est pas définie pour $x=0$.
Comment savoir si une courbe représente une fonction ?
Une courbe représente une fonction si et seulement si toute droite verticale coupe la courbe en au plus un point. Si une droite verticale coupe la courbe en plusieurs points, cela signifie qu'un même antécédent aurait plusieurs images, ce qui est impossible pour une fonction.

Pour aller plus loin

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