Définition
La résolution d'équations et d'inéquations de la forme $x^2 = a$, $x^2 \lt a$, $x^2 \gt a$, $x^2 \leq a$ ou $x^2 \geq a$ est une compétence fondamentale en Seconde. Ces équations et inéquations sont liées à la fonction carré $f(x) = x^2$.
La fonction carré est définie sur $\mathbb{R}$. Elle est décroissante sur $]-\infty\,;0]$ et croissante sur $[0\,;+\infty[$. Sa courbe représentative est une parabole dont le sommet est l'origine du repère.
Bon réflexe : Toujours commencer par comparer $a$ à $0$ pour déterminer le nombre de solutions ou la nature de l'ensemble des solutions.
Méthode : Résoudre x² = a et des inéquations avec x²
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Pour $x^2 = a$
- Si $a \lt 0$, l'équation n'a pas de solution réelle car un carré est toujours positif ou nul. L'ensemble des solutions est $\emptyset$.
- Si $a = 0$, l'équation $x^2 = 0$ a une unique solution : $x = 0$.
- Si $a \gt 0$, l'équation $x^2 = a$ a deux solutions réelles opposées : $x = \sqrt{a}$ ou $x = -\sqrt{a}$. L'ensemble des solutions est $\{ -\sqrt{a}\, ; \sqrt{a} \}$.
2
Pour $x^2 \lt a$ ou $x^2 \leq a$
- Si $a \leq 0$, l'inéquation n'a pas de solution réelle car $x^2 \geq 0$. L'ensemble des solutions est $\emptyset$.
- Si $a \gt 0$, l'inéquation $x^2 \lt a$ est équivalente à $-\sqrt{a} \lt x \lt \sqrt{a}$. L'ensemble des solutions est l'intervalle $]-\sqrt{a}\, ; \sqrt{a}[$.
Pour $x^2 \leq a$, l'ensemble des solutions est $[-\sqrt{a}\, ; \sqrt{a}]$.
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Pour $x^2 \gt a$ ou $x^2 \geq a$
- Si $a \lt 0$, l'inéquation est toujours vraie pour tout $x \in \mathbb{R}$ car $x^2 \geq 0 \gt a$. L'ensemble des solutions est $\mathbb{R}$.
- Si $a = 0$, l'inéquation $x^2 \gt 0$ a pour solutions tous les réels sauf $0$. L'ensemble des solutions est $]-\infty\,;0[ \cup ]0\,;+\infty[$.
Pour $x^2 \geq 0$, l'ensemble des solutions est $\mathbb{R}$. - Si $a \gt 0$, l'inéquation $x^2 \gt a$ est équivalente à $x \lt -\sqrt{a}$ ou $x \gt \sqrt{a}$. L'ensemble des solutions est $]-\infty\, ; -\sqrt{a}[ \cup ]\sqrt{a}\, ; +\infty[$.
Pour $x^2 \geq a$, l'ensemble des solutions est $]-\infty\, ; -\sqrt{a}] \cup [\sqrt{a}\, ; +\infty[$.
Exemple résolu
Résoudre l'équation $x^2 = 16$ et l'inéquation $x^2 \leq 9$.
1
Résolution de l'équation $x^2 = 16$
L'équation est de la forme $x^2 = a$ avec $a = 16$.
Puisque $a \gt 0$, il y a deux solutions : $x = \sqrt{16}$ ou $x = -\sqrt{16}$.
On calcule les racines : $\sqrt{16} = 4$.
Donc les solutions sont $x = 4$ ou $x = -4$.
Puisque $a \gt 0$, il y a deux solutions : $x = \sqrt{16}$ ou $x = -\sqrt{16}$.
On calcule les racines : $\sqrt{16} = 4$.
Donc les solutions sont $x = 4$ ou $x = -4$.
2
Conclusion pour l'équation
L'ensemble des solutions de $x^2 = 16$ est $\{ -4\, ; 4 \}$.
3
Résolution de l'inéquation $x^2 \leq 9$
L'inéquation est de la forme $x^2 \leq a$ avec $a = 9$.
Puisque $a \gt 0$, les solutions sont les $x$ tels que $-\sqrt{a} \leq x \leq \sqrt{a}$.
On calcule la racine : $\sqrt{9} = 3$.
Donc les solutions sont les $x$ tels que $-3 \leq x \leq 3$.
Puisque $a \gt 0$, les solutions sont les $x$ tels que $-\sqrt{a} \leq x \leq \sqrt{a}$.
On calcule la racine : $\sqrt{9} = 3$.
Donc les solutions sont les $x$ tels que $-3 \leq x \leq 3$.
4
Conclusion pour l'inéquation
L'ensemble des solutions de $x^2 \leq 9$ est l'intervalle $[-3\, ; 3]$.
L'équation $x^2 = 16$ a pour solutions $\{ -4\, ; 4 \}$. L'inéquation $x^2 \leq 9$ a pour ensemble de solutions $[-3\, ; 3]$.
Confondre équation et inéquation
- Oublier la solution négative pour $x^2 = a$ (si $a \gt 0$). Par exemple, pour $x^2 = 25$, les solutions sont $5$ ET $-5$, pas seulement $5$.
- Mal interpréter le sens de l'inégalité. Pour $x^2 \lt a$, les solutions sont entre $-\sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$. Pour $x^2 \gt a$, les solutions sont à l'extérieur de cet intervalle.
- Ne pas considérer le signe de $a$. Si $a$ est négatif, les équations et inéquations n'ont pas toujours de solution ou sont toujours vraies.
Exercice type contrôle
Résoudre les problèmes suivants :
- Résoudre l'équation $x^2 = 49$.
- Résoudre l'inéquation $x^2 \gt 25$.
- Résoudre l'inéquation $x^2 \leq -4$.
- Résolution de l'équation $x^2 = 49$ :
L'équation est de la forme $x^2 = a$ avec $a = 49$.
Puisque $a \gt 0$, il y a deux solutions : $x = \sqrt{49}$ ou $x = -\sqrt{49}$.
On calcule $\sqrt{49} = 7$.
Donc les solutions sont $x = 7$ ou $x = -7$.
L'ensemble des solutions est $\{ -7\, ; 7 \}$. - Résolution de l'inéquation $x^2 \gt 25$ :
L'inéquation est de la forme $x^2 \gt a$ avec $a = 25$.
Puisque $a \gt 0$, les solutions sont les $x$ tels que $x \lt -\sqrt{a}$ ou $x \gt \sqrt{a}$.
On calcule $\sqrt{25} = 5$.
Donc les solutions sont les $x$ tels que $x \lt -5$ ou $x \gt 5$.
L'ensemble des solutions est $]-\infty\, ; -5[ \cup ]5\, ; +\infty[$. - Résolution de l'inéquation $x^2 \leq -4$ :
L'inéquation est de la forme $x^2 \leq a$ avec $a = -4$.
Puisque $a \lt 0$, et qu'un carré est toujours positif ou nul ($x^2 \geq 0$), il est impossible que $x^2$ soit inférieur ou égal à un nombre négatif.
L'inéquation n'a pas de solution réelle.
L'ensemble des solutions est $\emptyset$.
Questions fréquentes
Pourquoi $x^2 = a$ a deux solutions quand $a \gt 0$ ?
La fonction carré $f(x) = x^2$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Si $x_0$ est une solution, alors $(-x_0)^2 = x_0^2$, donc $-x_0$ est aussi une solution. Par exemple, si $x^2 = 9$, alors $3^2 = 9$ et $(-3)^2 = 9$. Les solutions sont $3$ et $-3$.
Comment savoir si je dois prendre un intervalle ouvert ou fermé pour les inéquations ?
Si l'inégalité est stricte ($\lt $ ou $\gt $), l'intervalle est ouvert (les bornes ne sont pas incluses). Si l'inégalité est large ($\leq$ ou $\geq$), l'intervalle est fermé (les bornes sont incluses). Par exemple, pour $x^2 \lt 4$, l'ensemble des solutions est $]-2\, ; 2[$. Pour $x^2 \leq 4$, c'est $[-2\, ; 2]$.
Que se passe-t-il si $a$ est négatif dans $x^2 = a$ ?
Un carré de nombre réel est toujours positif ou nul. Il est impossible qu'un nombre au carré soit égal à un nombre strictement négatif. Par conséquent, si $a \lt 0$, l'équation $x^2 = a$ n'a aucune solution réelle. L'ensemble des solutions est $\emptyset$.
Est-ce que je peux utiliser un tableau de signes pour résoudre ces inéquations ?
Oui, c'est une méthode valide, surtout pour des inéquations plus complexes. Pour $x^2 \gt a$, on peut réécrire l'inéquation comme $x^2 - a \gt 0$. Si $a \gt 0$, on factorise en $(x - \sqrt{a})(x + \sqrt{a}) \gt 0$ et on construit un tableau de signes pour le produit. C'est plus long mais très rigoureux.
Pour aller plus loin
Le passage en Seconde est difficile ?
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