Inéquations avec la fonction inverse – Fiche Maths Seconde

Q: Pourquoi la fonction inverse n'est-elle pas décroissante sur \mathbb{R}^* ?

La fonction inverse est décroissante sur ]-\infty\,;0[ et sur ]0\,;+\infty[. Cependant, si on prend un nombre négatif, par exemple -2, et un nombre positif, par exemple 1, on a -2 \lt 1. Mais \frac{1}{-2} = -0{,}5 et \frac{1}{1} = 1. On constate que -0{,}5 \lt 1. Si la fonction était décroissante sur \mathbb{R}^*, on devrait avoir \frac{1}{-2} \gt \frac{1}{1}, ce qui n'est pas le cas. C'est pourquoi on doit étudier la fonction sur chaque intervalle séparément.

Q: Peut-on utiliser un tableau de signes pour résoudre ces inéquations ?

Oui, c'est une méthode très efficace. Pour résoudre \frac{1}{x} \leq k, on peut réécrire l'inéquation sous la forme \frac{1}{x} - k \leq 0, puis mettre au même dénominateur : \frac{1-kx}{x} \leq 0. Ensuite, on étudie le signe du numérateur et du dénominateur dans un tableau de signes pour trouver le signe de la fraction. C'est souvent plus rapide que la disjonction de cas.

Q: Que signifie \mathbb{R}^* ?

Le symbole \mathbb{R}^* désigne l'ensemble de tous les nombres réels sauf zéro. C'est l'ensemble de définition de la fonction inverse, car la division par zéro est impossible.

Définition

La fonction inverse $f$ est définie sur $\mathbb{R}^*$ (c'est-à-dire $\mathbb{R} \setminus \{0\}$) par $f(x) = \frac{1}{x}$. Elle est strictement décroissante sur l'intervalle $]-\infty\,;0[$ et strictement décroissante sur l'intervalle $]0\,;+\infty[$. Attention, elle n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}^*$ tout entier. Pour résoudre une inéquation du type $\frac{1}{x} \leq k$ ou $\frac{1}{x} \geq k$, on utilise cette propriété de décroissance sur les intervalles où elle est définie.

Bon réflexe : Toujours commencer par déterminer les valeurs interdites pour $x$ et ne jamais oublier de changer le sens de l'inégalité si tu multiplies ou divises par un nombre négatif.

Méthode : Inéquations avec la fonction inverse

Définir l'ensemble de validité

La fonction inverse n'est pas définie pour $x=0$. Il faut donc toujours s'assurer que $x \neq 0$ et exclure cette valeur de l'ensemble des solutions.

Isoler $\frac{1}{x}$

Si l'inéquation n'est pas déjà sous la forme $\frac{1}{x} \leq k$ ou $\frac{1}{x} \geq k$, il faut la transformer pour obtenir cette forme. Cela peut impliquer des additions, soustractions, multiplications ou divisions par des nombres (attention au signe lors de la multiplication/division).

Résoudre graphiquement ou par disjonction de cas

La résolution peut se faire en s'appuyant sur la courbe de la fonction inverse. On peut aussi distinguer deux cas : $x \gt 0$ et $x \lt 0$.

Si $x \gt 0$, la fonction inverse est décroissante. Multiplier par $x$ (positif) ne change pas le sens de l'inégalité.
Si $x \lt 0$, la fonction inverse est décroissante. Multiplier par $x$ (négatif) change le sens de l'inégalité.

Exprimer l'ensemble des solutions

Les solutions sont exprimées sous forme d'intervalles ou d'union d'intervalles, en excluant toujours $0$ si elle fait partie d'un intervalle trouvé.

Exemple résolu

Résoudre l'inéquation $\frac{1}{x} \leq 2$.

Définir l'ensemble de validité

L'inéquation est définie pour tout $x \in \mathbb{R}^*$, c'est-à-dire $x \neq 0$.

Résoudre par disjonction de cas

On distingue deux cas :
Cas 1 : $x \gt 0$
Puisque $x \gt 0$, on peut multiplier l'inéquation par $x$ sans changer le sens de l'inégalité :
$$\frac{1}{x} \leq 2 \iff 1 \leq 2x$$
$$ \iff \frac{1}{2} \leq x$$
Puisque nous sommes dans le cas $x \gt 0$, les solutions pour ce cas sont $x \geq \frac{1}{2}$. L'intersection avec $x \gt 0$ donne l'intervalle $S_1 = [\frac{1}{2}\,;+\infty[$.

Cas 2 : $x \lt 0$
Puisque $x \lt 0$, on multiplie l'inéquation par $x$ et on change le sens de l'inégalité :
$$\frac{1}{x} \leq 2 \iff 1 \geq 2x$$
$$ \iff \frac{1}{2} \geq x$$
Puisque nous sommes dans le cas $x \lt 0$, les solutions pour ce cas sont $x \leq \frac{1}{2}$. L'intersection avec $x \lt 0$ donne l'intervalle $S_2 = ]-\infty\,;0[$. (Notez que $0$ est exclu).

Combiner les solutions

L'ensemble des solutions est l'union des solutions de chaque cas : $S = S_1 \cup S_2$.

L'ensemble des solutions de l'inéquation $\frac{1}{x} \leq 2$ est $S = ]-\infty\,;0[ \cup [\frac{1}{2}\,;+\infty[$.

Piège fréquent en Seconde : Multiplication par $x$

Ne jamais multiplier directement par $x$ sans distinguer les cas $x \gt 0$ et $x \lt 0$. Si $x$ est négatif, le sens de l'inégalité change.
Oublier que $x \neq 0$. La valeur $0$ est toujours une valeur interdite pour la fonction inverse.
Confondre la décroissance sur $]-\infty\,;0[$ et $]0\,;+\infty[$ avec une décroissance sur $\mathbb{R}^*$. Par exemple, $-2 \lt 1$ mais $\frac{1}{-2} \lt \frac{1}{1}$ est faux ($-0{,}5 \lt 1$ est vrai, mais la fonction n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}^*$ car $-0{,}5$ est plus grand que $1$ si on compare les images de $-2$ et $1$).
Faire un tableau de signes pour $\frac{1}{x} - k$ sans avoir mis au même dénominateur. Par exemple, $\frac{1}{x} - 2 = \frac{1-2x}{x}$.

Exercice type contrôle

Résoudre les inéquations suivantes :

$\frac{1}{x} \gt -3$
$\frac{1}{x} + 5 \leq 0$

Résolution de $\frac{1}{x} \gt -3$ :
L'inéquation est définie pour $x \neq 0$.
On distingue deux cas :
Cas 1 : $x \gt 0$
On multiplie par $x$ (positif), le sens de l'inégalité ne change pas :
$$1 \gt -3x$$
$$-\frac{1}{3} \lt x$$
L'intersection avec $x \gt 0$ donne $S_1 = ]0\,;+\infty[$.

Cas 2 : $x \lt 0$
On multiplie par $x$ (négatif), le sens de l'inégalité change :
$$1 \lt -3x$$
$$-\frac{1}{3} \gt x$$
L'intersection avec $x \lt 0$ donne $S_2 = ]-\infty\,;-\frac{1}{3}[$.

L'ensemble des solutions est $S = S_1 \cup S_2 = ]-\infty\,;-\frac{1}{3}[ \cup ]0\,;+\infty[$.
Résolution de $\frac{1}{x} + 5 \leq 0$ :
L'inéquation est définie pour $x \neq 0$.
On réécrit l'inéquation : $\frac{1}{x} \leq -5$.
On distingue deux cas :
Cas 1 : $x \gt 0$
On multiplie par $x$ (positif), le sens de l'inégalité ne change pas :
$$1 \leq -5x$$
$$-\frac{1}{5} \geq x$$
L'intersection avec $x \gt 0$ donne l'ensemble vide $\emptyset$, car $x$ ne peut pas être à la fois positif et inférieur ou égal à $-\frac{1}{5}$.

Cas 2 : $x \lt 0$
On multiplie par $x$ (négatif), le sens de l'inégalité change :
$$1 \geq -5x$$
$$-\frac{1}{5} \leq x$$
L'intersection avec $x \lt 0$ donne $S_2 = [-\frac{1}{5}\,;0[$.

L'ensemble des solutions est $S = \emptyset \cup [-\frac{1}{5}\,;0[ = [-\frac{1}{5}\,;0[$.

Questions fréquentes

Pourquoi la fonction inverse n'est-elle pas décroissante sur $\mathbb{R}^*$ ?

La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$. Cependant, si on prend un nombre négatif, par exemple $-2$, et un nombre positif, par exemple $1$, on a $-2 \lt 1$. Mais $\frac{1}{-2} = -0{,}5$ et $\frac{1}{1} = 1$. On constate que $-0{,}5 \lt 1$. Si la fonction était décroissante sur $\mathbb{R}^*$, on devrait avoir $\frac{1}{-2} \gt \frac{1}{1}$, ce qui n'est pas le cas. C'est pourquoi on doit étudier la fonction sur chaque intervalle séparément.

Peut-on utiliser un tableau de signes pour résoudre ces inéquations ?

Oui, c'est une méthode très efficace. Pour résoudre $\frac{1}{x} \leq k$, on peut réécrire l'inéquation sous la forme $\frac{1}{x} - k \leq 0$, puis mettre au même dénominateur : $\frac{1-kx}{x} \leq 0$. Ensuite, on étudie le signe du numérateur et du dénominateur dans un tableau de signes pour trouver le signe de la fraction. C'est souvent plus rapide que la disjonction de cas.

Comment savoir si je dois changer le sens de l'inégalité ?

Le sens de l'inégalité change si vous multipliez ou divisez les deux membres de l'inéquation par un nombre strictement négatif. Si vous multipliez ou divisez par un nombre strictement positif, le sens de l'inégalité ne change pas. C'est pourquoi il est crucial de distinguer les cas $x \gt 0$ et $x \lt 0$ lorsque vous multipliez par $x$.

Que signifie $\mathbb{R}^*$ ?

Le symbole $\mathbb{R}^*$ désigne l'ensemble de tous les nombres réels sauf zéro. C'est l'ensemble de définition de la fonction inverse, car la division par zéro est impossible.

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