Fonctions · Fiche N°55 / 80

Positions relatives des courbes de x, x², x³ et 1/x

Définition, méthode pas à pas, exemple corrigé et exercice type contrôle de Seconde.

Maths Seconde Lecture : 5 min Programme officiel 2019

Définition

Les positions relatives de deux courbes représentatives de fonctions $f$ et $g$ s'étudient en comparant les valeurs $f(x)$ et $g(x)$ pour tout $x$ de leur ensemble de définition. Si $f(x) \gt g(x)$, la courbe de $f$ est au-dessus de celle de $g$. Si $f(x) \lt g(x)$, la courbe de $f$ est en dessous de celle de $g$. Si $f(x) = g(x)$, les courbes se coupent.

y = xy = x²y = x³011
Sur [0 ; 1], x³ ≤ x² ≤ x ; sur [1 ; +∞[, x ≤ x² ≤ x³. Les trois courbes se coupent au point (1 ; 1).
Bon réflexe : Toujours factoriser la différence $f(x) - g(x)$ pour étudier son signe, et ne jamais oublier les valeurs interdites pour les fonctions comme $\frac{1}{x}$.

Méthode : Positions relatives des courbes de x, x², x³ et 1/x

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1. Déterminer l'ensemble de définition

Identifier l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles les deux fonctions sont définies. Pour $f(x) = \frac{1}{x}$, l'ensemble de définition est $\mathbb{R}^*$ (tous les réels sauf $0$). Pour les autres fonctions usuelles ($x$, $x^2$, $x^3$), l'ensemble de définition est $\mathbb{R}$.

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2. Étudier le signe de la différence

Calculer la différence $d(x) = f(x) - g(x)$. L'étude du signe de $d(x)$ permet de déterminer les positions relatives des courbes. Si $d(x) \gt 0$, alors $f(x) \gt g(x)$. Si $d(x) \lt 0$, alors $f(x) \lt g(x)$. Si $d(x) = 0$, alors $f(x) = g(x)$.

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3. Résoudre les inéquations et équations

Résoudre $f(x) - g(x) \gt 0$, $f(x) - g(x) \lt 0$ et $f(x) - g(x) = 0$. Cela peut impliquer la factorisation, l'utilisation d'identités remarquables, ou la construction d'un tableau de signes.

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4. Conclure sur les positions relatives

Interpréter les résultats des inéquations et équations pour décrire les positions relatives des courbes sur les différents intervalles de l'ensemble de définition.

Exemple résolu

On considère les fonctions $f(x) = x^2$ et $g(x) = x$. Étudier les positions relatives de leurs courbes représentatives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
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1. Déterminer l'ensemble de définition
Les fonctions $f(x) = x^2$ et $g(x) = x$ sont définies sur $\mathbb{R}$. Nous allons donc étudier leurs positions relatives sur $\mathbb{R}$.
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2. Étudier le signe de la différence $f(x) - g(x)$
Calculons la différence : $f(x) - g(x) = x^2 - x$. On peut factoriser cette expression : $x^2 - x = x(x - 1)$.
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3. Résoudre les inéquations et équations
Nous allons construire un tableau de signes pour $x(x - 1)$.
x−∞01+∞x0−++x−10−−+x(x−1)00+−+

D'après le tableau de signes :
  • $x(x - 1) \gt 0$ pour $x \in ]-\infty\,;0[ \cup ]1\,;+\infty[$
  • $x(x - 1) \lt 0$ pour $x \in ]0\,;1[$
  • $x(x - 1) = 0$ pour $x = 0$ ou $x = 1$
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4. Conclure sur les positions relatives
  • Sur $]-\infty\,;0[$ et $]1\,;+\infty[$, $f(x) - g(x) \gt 0$, donc $f(x) \gt g(x)$. La courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$.
  • Sur $]0\,;1[$, $f(x) - g(x) \lt 0$, donc $f(x) \lt g(x)$. La courbe $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $\mathcal{C}_g$.
  • Pour $x = 0$ et $x = 1$, $f(x) - g(x) = 0$, donc $f(x) = g(x)$. Les courbes se coupent aux points d'abscisses $0$ et $1$. Les points d'intersection sont $(0\,;0^2) = (0\,;0)$ et $(1\,;1^2) = (1\,;1)$.
En résumé, la courbe de $x^2$ est au-dessus de celle de $x$ sur $]-\infty\,;0[$ et $]1\,;+\infty[$, en dessous sur $]0\,;1[$, et elles se coupent aux points $(0\,;0)$ et $(1\,;1)$.

Piège fréquent en Seconde : Oublier le domaine de définition

  1. Ne pas prendre en compte les valeurs interdites : pour la fonction inverse $f(x) = \frac{1}{x}$, $x$ ne peut pas être égal à $0$. Toute étude de signe doit exclure cette valeur.
  2. Diviser par une expression qui peut être nulle : si vous divisez par $x$ ou $x-1$, vous devez considérer les cas où ces expressions sont nulles séparément, ou mieux, factoriser pour éviter la division.
  3. Confondre $f(x) \gt g(x)$ avec $f(x) - g(x) \gt 0$ : c'est la même chose, mais l'étude du signe de la différence est la méthode la plus sûre et la plus rigoureuse.

Exercice type contrôle

On considère les fonctions $f(x) = x^3$ et $g(x) = x^2$.
  1. Déterminer l'ensemble de définition des fonctions $f$ et $g$.
  2. Étudier le signe de la différence $f(x) - g(x)$.
  3. En déduire les positions relatives des courbes représentatives de $f$ et $g$.
  1. Les fonctions $f(x) = x^3$ et $g(x) = x^2$ sont des fonctions polynômes. Elles sont définies pour tout nombre réel $x$. L'ensemble de définition est donc $\mathbb{R}$.
  2. Pour étudier le signe de la différence $f(x) - g(x)$, on calcule :
    $$f(x) - g(x) = x^3 - x^2$$On peut factoriser cette expression par $x^2$ :
    $$f(x) - g(x) = x^2(x - 1)$$Nous allons étudier le signe de $x^2(x - 1)$ à l'aide d'un tableau de signes.
    Le terme $x^2$ est toujours positif ou nul ($x^2 \geq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$). Il est nul si $x=0$.
    Le terme $x - 1$ est positif si $x - 1 \gt 0$, c'est-à-dire $x \gt 1$. Il est négatif si $x \lt 1$. Il est nul si $x=1$.
    x−∞01+∞x²0+++x−10−−+x²(x−1)00−−+
  3. D'après le tableau de signes :
    • Sur $]-\infty\,;0[$ et $]0\,;1[$, $x^2(x - 1) \lt 0$, donc $f(x) - g(x) \lt 0$. Cela signifie que $f(x) \lt g(x)$. La courbe de $f$ est en dessous de la courbe de $g$.
    • Sur $]1\,;+\infty[$, $x^2(x - 1) \gt 0$, donc $f(x) - g(x) \gt 0$. Cela signifie que $f(x) \gt g(x)$. La courbe de $f$ est au-dessus de la courbe de $g$.
    • Pour $x = 0$ et $x = 1$, $x^2(x - 1) = 0$, donc $f(x) = g(x)$. Les courbes se coupent. Les points d'intersection sont $(0\,;0^3) = (0\,;0)$ et $(1\,;1^3) = (1\,;1)$.

Questions fréquentes

Pourquoi ne pas simplement regarder les courbes sur la calculatrice ?
La calculatrice ou un logiciel de traçage permet de visualiser les courbes et d'avoir une idée des positions relatives. Cependant, une visualisation n'est pas une preuve mathématique. Pour une réponse rigoureuse et exacte, il est indispensable de faire l'étude algébrique du signe de la différence $f(x) - g(x)$.
Est-ce que l'ordre des fonctions dans la différence $f(x) - g(x)$ a une importance ?
Oui, l'ordre est important pour l'interprétation. Si vous étudiez $f(x) - g(x)$, un signe positif signifie que $f$ est au-dessus de $g$. Si vous étudiez $g(x) - f(x)$, un signe positif signifierait que $g$ est au-dessus de $f$. Il faut être cohérent avec la différence calculée.
Comment savoir quelle méthode de résolution utiliser pour $f(x) - g(x) \gt 0$ ?
Cela dépend de la forme de l'expression $f(x) - g(x)$. Si c'est un polynôme, la factorisation est souvent la clé pour obtenir un produit de facteurs dont on peut étudier le signe. Si c'est une fraction rationnelle (avec $x$ au dénominateur), il faudra aussi étudier le signe du numérateur et du dénominateur, en faisant attention aux valeurs interdites.
Que se passe-t-il si les courbes ne se coupent jamais ?
Si les courbes ne se coupent jamais, cela signifie que l'équation $f(x) = g(x)$ n'a pas de solution. Dans ce cas, la différence $f(x) - g(x)$ aura un signe constant sur son ensemble de définition (elle sera toujours positive ou toujours négative), indiquant que l'une des courbes est toujours au-dessus de l'autre.

Pour aller plus loin

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