La fonction carré est la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$. À tout nombre réel $x$, elle associe son carré $x^2$. Sa courbe représentative est une parabole dont le sommet est l'origine du repère $(0\,;0)$.
La parabole y = x² est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : f(−2) = f(2) = 4.
Bon réflexe : Pense toujours à la symétrie de la fonction carré et à ses variations (décroissante sur les négatifs, croissante sur les positifs).
Méthode : La fonction carré
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Calculer une image
Pour calculer l'image d'un nombre $x_0$ par la fonction carré, il suffit de remplacer $x$ par $x_0$ dans l'expression $x^2$. L'image est $f(x_0) = x_0^2$.
2
Déterminer des antécédents
Pour déterminer les antécédents d'un nombre $y_0$ par la fonction carré, on résout l'équation $x^2 = y_0$.
Si $y_0 \gt 0$, l'équation a deux solutions : $x = \sqrt{y_0}$ et $x = -\sqrt{y_0}$.
Si $y_0 = 0$, l'équation a une seule solution : $x = 0$.
Si $y_0 \lt 0$, l'équation n'a pas de solution réelle.
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Comparer des carrés
Pour comparer $x_1^2$ et $x_2^2$ :
Si $x_1$ et $x_2$ sont tous deux positifs (ou nuls) : la fonction carré est croissante sur $[0\,;+\infty[$. Si $x_1 \lt x_2$, alors $x_1^2 \lt x_2^2$.
Si $x_1$ et $x_2$ sont tous deux négatifs (ou nuls) : la fonction carré est décroissante sur $]-\infty\,;0]$. Si $x_1 \lt x_2$, alors $x_1^2 \gt x_2^2$.
Si $x_1$ et $x_2$ sont de signes différents, ou si l'un est positif et l'autre négatif, la comparaison est plus complexe et dépend des valeurs absolues. Par exemple, $-3 \lt 2$, mais $(-3)^2 = 9$ et $2^2 = 4$, donc $(-3)^2 \gt 2^2$.
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Étudier le signe de $x^2 - a^2$
On utilise l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Ainsi, $x^2 - a^2 = (x-a)(x+a)$. On peut ensuite construire un tableau de signes.
Pour $y_0 = 16$, on résout $x^2 = 16$. Les solutions sont $x = \sqrt{16} = 4$ et $x = -\sqrt{16} = -4$. Les antécédents de $16$ sont $4$ et $-4$. Pour $y_0 = -4$, on résout $x^2 = -4$. Comme un carré est toujours positif ou nul, cette équation n'a pas de solution réelle. $-4$ n'a pas d'antécédent par la fonction carré.
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Comparer $2{,}5^2$ et $3^2$, puis $(-4)^2$ et $(-2)^2$.
Pour $2{,}5$ et $3$ : $0 \leq 2{,}5 \lt 3$. La fonction carré est croissante sur $[0\,;+\infty[$. Donc $2{,}5^2 \lt 3^2$. On a $6{,}25 \lt 9$. Pour $-4$ et $-2$ : $-4 \lt -2 \leq 0$. La fonction carré est décroissante sur $]-\infty\,;0]$. Donc $(-4)^2 \gt (-2)^2$. On a $16 \gt 4$.
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Étudier le signe de $x^2 - 9$.
$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x-3)(x+3)$. Tableau de signes : Donc $x^2 - 9 \gt 0$ pour $x \in ]-\infty\,;-3[ \cup ]3\,;+\infty[$, $x^2 - 9 \lt 0$ pour $x \in ]-3\,;3[$, et $x^2 - 9 = 0$ pour $x = -3$ ou $x = 3$.
Ces exemples illustrent les propriétés fondamentales de la fonction carré, notamment son comportement symétrique et ses variations sur $\mathbb{R}$.
Erreurs de signe et de variations
Oublier que $(-x)^2 = x^2$. Par exemple, $(-5)^2 = 25$, pas $-25$.
Confondre la décroissance et la croissance : la fonction carré est décroissante sur $]-\infty\,;0]$ et croissante sur $[0\,;+\infty[$. Ne pas appliquer la bonne règle de comparaison selon le signe des nombres.
Penser que $x^2 = a$ n'a qu'une seule solution $\sqrt{a}$ quand $a\gt 0$. Il y a toujours deux solutions : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.
Croire que $x^2$ peut être négatif. Pour tout réel $x$, $x^2 \geq 0$.
Exercice type contrôle
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$.
Calculer l'image de $-7$ et de $\frac{2}{3}$ par la fonction $f$.
Déterminer les antécédents de $25$ par la fonction $f$.
Comparer, en justifiant, $A = (-6)^2$ et $B = (-5)^2$.
Calcul de l'image de $-7$ : $f(-7) = (-7)^2 = 49$. Calcul de l'image de $\frac{2}{3}$ : $f\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$.
Détermination des antécédents de $25$ : On cherche les nombres $x$ tels que $f(x) = 25$, c'est-à-dire $x^2 = 25$. Cette équation a deux solutions : $x = \sqrt{25}$ ou $x = -\sqrt{25}$. Donc $x = 5$ ou $x = -5$. Les antécédents de $25$ par la fonction $f$ sont $5$ et $-5$.
Comparaison de $A = (-6)^2$ et $B = (-5)^2$ : On compare les nombres $-6$ et $-5$. On a $-6 \lt -5$. Les nombres $-6$ et $-5$ sont tous deux négatifs. La fonction carré est décroissante sur $]-\infty\,;0]$. Puisque $-6 \lt -5$ et que la fonction carré est décroissante sur cet intervalle, l'ordre est inversé pour leurs carrés. Donc $(-6)^2 \gt (-5)^2$. Ainsi, $A \gt B$. (On peut vérifier : $A = 36$ et $B = 25$, donc $36 \gt 25$).
Questions fréquentes
Pourquoi la courbe de la fonction carré est-elle symétrique ?
La courbe de la fonction carré est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Cela vient du fait que pour tout nombre réel $x$, $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$. On dit que la fonction carré est une fonction paire. Cette propriété de symétrie est visible sur le graphique.
Qu'est-ce que le sommet de la parabole ?
Le sommet de la parabole de la fonction carré est le point où la courbe change de sens de variation. Pour $f(x) = x^2$, c'est le point $(0\,;0)$, l'origine du repère. C'est aussi le point où la fonction atteint sa valeur minimale, qui est $0$.
Comment tracer la courbe de la fonction carré ?
Pour tracer la courbe, on peut calculer quelques points clés : $f(0)=0$, $f(1)=1$, $f(-1)=1$, $f(2)=4$, $f(-2)=4$, $f(3)=9$, $f(-3)=9$. On place ces points dans un repère et on les relie par une courbe lisse, en respectant la symétrie et le sens de variation. La courbe est une parabole.
La fonction carré est-elle toujours positive ?
Oui, pour tout nombre réel $x$, $x^2$ est toujours positif ou nul. En effet, le carré d'un nombre positif est positif, et le carré d'un nombre négatif est également positif. Par exemple, $3^2 = 9$ et $(-3)^2 = 9$. Le seul cas où $x^2 = 0$ est lorsque $x = 0$.
Pour aller plus loin
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