Résolution graphique d'inéquations – Fiche Maths Seconde

Q: Comment savoir si je dois inclure ou exclure les points d'intersection ?

Si l'inégalité est stricte (\lt ou \gt ), les points d'intersection sont exclus de l'ensemble solution, et les crochets des intervalles sont ouverts. Si l'inégalité est large (\leq ou \geq), les points d'intersection sont inclus, et les crochets sont fermés.

Q: Comment représenter f(x) \geq 0 graphiquement ?

Pour f(x) \geq 0, il faut regarder les parties de la courbe de f qui sont situées au-dessus ou sur l'axe des abscisses. L'axe des abscisses correspond à la fonction g(x)=0.

Définition

La résolution graphique d'une inéquation consiste à déterminer l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles une inégalité est vérifiée, en utilisant la représentation graphique des fonctions impliquées. On compare les positions relatives des courbes pour trouver les intervalles de $x$ qui satisfont l'inéquation.

Bon réflexe : Toujours visualiser l'inégalité comme une comparaison de positions des courbes (au-dessus, en dessous) et bien gérer les crochets des intervalles.

Méthode : Résolution graphique d'inéquations

Tracer les courbes

Représenter graphiquement les fonctions $f(x)$ et $g(x)$ sur un même repère. Si l'inéquation est de la forme $f(x) \geq 0$, on trace la courbe de $f(x)$ et l'axe des abscisses.

Identifier la relation

Interpréter l'inégalité en termes de position des courbes :

$f(x) \gt g(x)$ signifie que la courbe de $f$ est strictement au-dessus de celle de $g$.
$f(x) \lt g(x)$ signifie que la courbe de $f$ est strictement en-dessous de celle de $g$.
$f(x) \geq g(x)$ signifie que la courbe de $f$ est au-dessus ou coupe celle de $g$.
$f(x) \leq g(x)$ signifie que la courbe de $f$ est en-dessous ou coupe celle de $g$.

Repérer les intersections

Identifier les points d'intersection des courbes. Leurs abscisses sont les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x) = g(x)$. Ces points sont souvent les bornes des intervalles solutions.

Déterminer les intervalles

Parcourir l'axe des abscisses et observer les positions relatives des courbes. Noter les intervalles de $x$ pour lesquels la condition de l'inégalité est remplie.

Écrire l'ensemble solution

Exprimer l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle(s). Les crochets sont ouverts pour les inégalités strictes ($\lt $ ou $\gt $) et fermés pour les inégalités larges ($\leq$ ou $\geq$). Si l'inégalité est stricte, les abscisses des points d'intersection sont exclues.

Exemple résolu

Soient les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x) = -x+5$ et $g(x) = x^2-1$. Leurs courbes représentatives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sont données ci-dessous. Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) \leq g(x)$.

𝒞f : f(x) = −x + 5 ; 𝒞g : g(x) = x² − 1. Les courbes se coupent en x = −3 et x = 2.

Tracer les courbes

Les courbes $\mathcal{C}_f$ (droite) et $\mathcal{C}_g$ (parabole) sont déjà tracées sur le graphique fourni.

Identifier la relation

L'inéquation $f(x) \leq g(x)$ signifie que nous cherchons les valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe $\mathcal{C}_f$ est située en dessous ou coupe la courbe $\mathcal{C}_g$.

Repérer les intersections

En observant le graphique, les deux courbes se coupent en deux points. Les abscisses de ces points d'intersection sont $x=-3$ et $x=2$.

Déterminer les intervalles

Pour $x \lt -3$, la courbe $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $\mathcal{C}_g$ (par exemple $f(-4) = 9$ et $g(-4) = 15$).
Pour $-3 \lt x \lt 2$, la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ (par exemple $f(0) = 5$ et $g(0) = -1$).
Pour $x \gt 2$, la courbe $\mathcal{C}_f$ est de nouveau en dessous de $\mathcal{C}_g$.

On garde les intervalles où $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $\mathcal{C}_g$ ou la coupe, bornes comprises.

L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) \leq g(x)$ est $]-\infty\,;-3] \cup [2\,;+\infty[$.

Confondre abscisses et ordonnées

Ne pas confondre les valeurs de $x$ (abscisses, qui sont les solutions) avec les valeurs de $f(x)$ ou $g(x)$ (ordonnées, qui sont comparées).
Oublier d'adapter les crochets des intervalles : fermés pour $\leq$ et $\geq$, ouverts pour $\lt $ et $\gt $. Les points d'intersection sont inclus si l'inégalité est large, exclus si elle est stricte.
Mal lire les coordonnées des points d'intersection sur le graphique, surtout si le tracé n'est pas très précis. Toujours vérifier la cohérence des résultats.

Exercice type contrôle

Soient les fonctions $h$ et $k$ définies par $h(x) = x^2-4$ et $k(x) = -x-2$. Leurs courbes représentatives $\mathcal{C}_h$ et $\mathcal{C}_k$ sont données ci-dessous.

𝒞h : h(x) = x² − 4 ; 𝒞k : k(x) = −x − 2. Les courbes se coupent en x = −2 et x = 1.

1. Résoudre graphiquement l'inéquation $h(x) \gt k(x)$.
2. Résoudre graphiquement l'inéquation $h(x) \leq 0$.

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$h(x)$	$5$	$0$	$-3$	$-4$	$-3$	$0$	$5$
$k(x)$	$1$	$0$	$-1$	$-2$	$-3$	$-4$	$-5$

1. Résolution de $h(x) \gt k(x)$ :
Nous cherchons les valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe $\mathcal{C}_h$ est strictement au-dessus de la courbe $\mathcal{C}_k$.
Les courbes se coupent aux points d'abscisses $x=-2$ et $x=1$.
En observant le tableau de valeurs (qui permet de visualiser les courbes) :

Pour $x \lt -2$, $h(x)$ est au-dessus de $k(x)$ (par exemple, pour $x=-3$, $h(-3)=5$ et $k(-3)=1$, donc $h(x)\gt k(x)$).
Pour $-2 \lt x \lt 1$, $h(x)$ est en dessous de $k(x)$ (par exemple, pour $x=0$, $h(0)=-4$ et $k(0)=-2$, donc $h(x)\lt k(x)$).
Pour $x \gt 1$, $h(x)$ est au-dessus de $k(x)$ (par exemple, pour $x=2$, $h(2)=0$ et $k(2)=-4$, donc $h(x)\gt k(x)$).

Puisque l'inégalité est stricte ($\gt $), les abscisses des points d'intersection sont exclues.
L'ensemble des solutions est $]-\infty\,;-2[ \cup ]1\,;+\infty[$.

2. Résolution de $h(x) \leq 0$ :
Nous cherchons les valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe $\mathcal{C}_h$ est en dessous ou coupe l'axe des abscisses.
La fonction $h(x)$ s'annule pour $x=-2$ et $x=2$ (ce sont les points d'intersection de $\mathcal{C}_h$ avec l'axe des abscisses, comme le montre le tableau de valeurs $h(-2)=0$ et $h(2)=0$).
En observant le tableau de valeurs :

Pour $x \lt -2$, $h(x) \gt 0$.
Pour $-2 \leq x \leq 2$, $h(x) \leq 0$.
Pour $x \gt 2$, $h(x) \gt 0$.

Puisque l'inégalité est large ($\leq$), les abscisses des points où $h(x)=0$ sont incluses.
L'ensemble des solutions est $[-2\,;2]$.

Questions fréquentes

Comment savoir si je dois inclure ou exclure les points d'intersection ?

Si l'inégalité est stricte ($\lt $ ou $\gt $), les points d'intersection sont exclus de l'ensemble solution, et les crochets des intervalles sont ouverts. Si l'inégalité est large ($\leq$ ou $\geq$), les points d'intersection sont inclus, et les crochets sont fermés.

Que faire si les courbes ne se coupent pas ?

Si les courbes ne se coupent pas, cela signifie que l'une est toujours au-dessus ou toujours en dessous de l'autre. L'ensemble solution sera alors soit $\mathbb{R}$ (tous les réels), soit $\emptyset$ (l'ensemble vide), selon le sens de l'inégalité.

Peut-on résoudre toutes les inéquations graphiquement ?

Oui, en théorie, toute inéquation peut être résolue graphiquement. Cependant, la précision de la solution dépend de la précision du tracé des courbes et de la lecture des coordonnées. Pour des solutions exactes, une résolution algébrique est souvent nécessaire.

Comment représenter $f(x) \geq 0$ graphiquement ?

Pour $f(x) \geq 0$, il faut regarder les parties de la courbe de $f$ qui sont situées au-dessus ou sur l'axe des abscisses. L'axe des abscisses correspond à la fonction $g(x)=0$.

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