La fonction inverse – Fiche Maths Seconde

Q: Pourquoi la fonction inverse n'est-elle pas définie en 0 ?

La fonction inverse est définie par f(x) = \frac{1}{x}. La division par zéro est impossible en mathématiques, car elle n'a pas de sens. On ne peut pas trouver un nombre qui, multiplié par 0, donne 1. C'est pourquoi x ne peut pas être égal à 0.

Q: Comment savoir si je dois inverser l'ordre quand je compare des inverses ?

Si les deux nombres que tu compares sont de même signe (tous deux positifs ou tous deux négatifs), alors l'ordre est inversé. Par exemple, si 2 \lt 3, alors \frac{1}{2} \gt \frac{1}{3}. Si -5 \lt -2, alors \frac{1}{-5} \gt \frac{1}{-2}. Si les nombres sont de signes différents , l'ordre n'est pas inversé. Par exemple, -2 \lt 3 et \frac{1}{-2} \lt \frac{1}{3} (car -0{,}5 \lt 0{,}33). Dans ce cas, il n'y a pas de changement d'ordre.

Q: Peut-on résoudre \frac{1}{x} \gt k en multipliant par x ?

Non, pas directement. Si x \gt 0, alors 1 \gt kx. Si x \lt 0, alors 1 \lt kx (l'inégalité change de sens). Il faut distinguer les cas, ce qui est souvent plus complexe que de ramener l'inéquation à une étude de signe d'un quotient, comme montré dans l'exemple et le corrigé.

Définition

La fonction inverse est la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^*$ (l'ensemble des nombres réels non nuls) par $f(x) = \frac{1}{x}$. Son ensemble de définition est $\mathcal{D}_f = ]-\infty\,;0[ \cup ]0\,;+\infty[$. La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole.

L'hyperbole y = 1/x : la fonction inverse est décroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[.

Bon réflexe : Toujours vérifier le signe des nombres avant de comparer leurs inverses, et ne jamais oublier que $x \neq 0$ pour la fonction inverse.

Méthode : La fonction inverse

Calculer l'image d'un nombre

Pour calculer l'image d'un nombre $a$ par la fonction inverse, on remplace $x$ par $a$ dans l'expression $f(x) = \frac{1}{x}$. Il faut que $a \neq 0$.

Déterminer l'antécédent d'un nombre

Pour déterminer l'antécédent d'un nombre $b$ par la fonction inverse, on résout l'équation $f(x) = b$, c'est-à-dire $\frac{1}{x} = b$. Si $b=0$, il n'y a pas d'antécédent. Si $b \neq 0$, l'unique antécédent est $x = \frac{1}{b}$.

Comparer des inverses

La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty\,;0[$ et décroissante sur $]0\,;+\infty[$. Attention, elle n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}^*$.
Si $a$ et $b$ sont deux nombres de même signe (tous deux positifs ou tous deux négatifs) et $a \lt b$, alors $\frac{1}{a} \gt \frac{1}{b}$. L'ordre est inversé.

Résoudre une inéquation avec des inverses

Pour résoudre une inéquation du type $\frac{1}{x} \lt k$ ou $\frac{1}{x} \gt k$, on peut utiliser le sens de variation de la fonction inverse en distinguant les cas $x \gt 0$ et $x \lt 0$, ou ramener l'inéquation à une étude de signe après avoir mis au même dénominateur.

Exemple résolu

Soit la fonction inverse $f(x) = \frac{1}{x}$.

Calculer l'image de $2{,}5$ et de $-4$.

Pour $x = 2{,}5$, $f(2{,}5) = \frac{1}{2{,}5} = \frac{1}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5} = 0{,}4$.
Pour $x = -4$, $f(-4) = \frac{1}{-4} = -0{,}25$.

Déterminer l'antécédent de $0{,}2$.

On résout l'équation $f(x) = 0{,}2$, soit $\frac{1}{x} = 0{,}2$.
Donc $x = \frac{1}{0{,}2} = \frac{1}{\frac{2}{10}} = \frac{10}{2} = 5$. L'antécédent de $0{,}2$ est $5$.

Comparer $\frac{1}{3}$ et $\frac{1}{5}$.

Les nombres $3$ et $5$ sont positifs. On a $3 \lt 5$. Puisque la fonction inverse est décroissante sur $]0\,;+\infty[$, l'ordre est inversé : $\frac{1}{3} \gt \frac{1}{5}$.

Résoudre l'inéquation $\frac{1}{x} \leq 2$.

On ne peut pas multiplier par $x$ sans connaître son signe. On ramène à une inéquation avec $0$ :
$\frac{1}{x} - 2 \leq 0 \iff \frac{1}{x} - \frac{2x}{x} \leq 0 \iff \frac{1-2x}{x} \leq 0$.
On étudie le signe du numérateur et du dénominateur :
Numérateur $1-2x$: $1-2x = 0 \iff 2x = 1 \iff x = 0{,}5$.
Dénominateur $x$: $x = 0$. (Valeur interdite)

L'inéquation $\frac{1-2x}{x} \leq 0$ est vérifiée lorsque le quotient est négatif ou nul.
L'ensemble des solutions est $S = ]-\infty\,;0[ \cup [0{,}5\,;+\infty[$. (Attention à la valeur interdite $x=0$).

Les calculs et la résolution d'inéquation ont été effectués en respectant les propriétés de la fonction inverse.

Erreurs courantes avec la fonction inverse

Oublier que $x \neq 0$. La fonction inverse n'est pas définie en $0$.
Affirmer que la fonction inverse est décroissante sur $\mathbb{R}^*$. Elle est décroissante sur $]-\infty\,;0[$ ET sur $]0\,;+\infty[$, mais pas sur l'union des deux. Par exemple, $-2 \lt 3$ mais $\frac{1}{-2} = -0{,}5$ et $\frac{1}{3} \approx 0{,}33$. On a $-0{,}5 \lt 0{,}33$, donc l'ordre n'est pas inversé entre $-2$ et $3$.
Multiplier par $x$ dans une inéquation sans discuter le signe de $x$. Cela peut inverser le sens de l'inégalité.

Exercice type contrôle

Soit la fonction inverse $f(x) = \frac{1}{x}$.

Calculer l'image de $\frac{1}{3}$ et de $-0{,}8$ par $f$.
Déterminer le ou les antécédents de $4$ par $f$.
Résoudre l'inéquation $\frac{1}{x} \gt -1$.

Calcul de l'image de $\frac{1}{3}$ et de $-0{,}8$ :
Pour $x = \frac{1}{3}$, $f(\frac{1}{3}) = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3$.
Pour $x = -0{,}8$, $f(-0{,}8) = \frac{1}{-0{,}8} = \frac{1}{-\frac{8}{10}} = \frac{1}{-\frac{4}{5}} = -\frac{5}{4} = -1{,}25$.
Détermination de l'antécédent de $4$ :
On résout l'équation $f(x) = 4$, soit $\frac{1}{x} = 4$.
Donc $x = \frac{1}{4} = 0{,}25$. L'unique antécédent de $4$ est $0{,}25$.
Résolution de l'inéquation $\frac{1}{x} \gt -1$ :
On ramène l'inéquation à une étude de signe :
$\frac{1}{x} + 1 \gt 0 \iff \frac{1}{x} + \frac{x}{x} \gt 0 \iff \frac{1+x}{x} \gt 0$.
On étudie le signe du numérateur et du dénominateur :
Numérateur $1+x$: $1+x = 0 \iff x = -1$.
Dénominateur $x$: $x = 0$. (Valeur interdite)

L'inéquation $\frac{1+x}{x} \gt 0$ est vérifiée lorsque le quotient est strictement positif.
L'ensemble des solutions est $S = ]-\infty\,;-1[ \cup ]0\,;+\infty[$.

Questions fréquentes

Pourquoi la fonction inverse n'est-elle pas définie en $0$ ?

La fonction inverse est définie par $f(x) = \frac{1}{x}$. La division par zéro est impossible en mathématiques, car elle n'a pas de sens. On ne peut pas trouver un nombre qui, multiplié par $0$, donne $1$. C'est pourquoi $x$ ne peut pas être égal à $0$.

Comment savoir si je dois inverser l'ordre quand je compare des inverses ?

Si les deux nombres que tu compares sont de même signe (tous deux positifs ou tous deux négatifs), alors l'ordre est inversé. Par exemple, si $2 \lt 3$, alors $\frac{1}{2} \gt \frac{1}{3}$. Si $-5 \lt -2$, alors $\frac{1}{-5} \gt \frac{1}{-2}$.
Si les nombres sont de signes différents, l'ordre n'est pas inversé. Par exemple, $-2 \lt 3$ et $\frac{1}{-2} \lt \frac{1}{3}$ (car $-0{,}5 \lt 0{,}33$). Dans ce cas, il n'y a pas de changement d'ordre.

La courbe de la fonction inverse, c'est quoi une hyperbole ?

Une hyperbole est une courbe à deux branches séparées. Pour la fonction inverse, une branche est dans le premier quadrant (pour $x\gt 0$) et l'autre est dans le troisième quadrant (pour $x\lt 0$). Les axes de coordonnées sont les asymptotes de l'hyperbole, ce qui signifie que la courbe s'approche de ces axes sans jamais les toucher.

Peut-on résoudre $\frac{1}{x} \gt k$ en multipliant par $x$ ?

Non, pas directement. Si $x \gt 0$, alors $1 \gt kx$. Si $x \lt 0$, alors $1 \lt kx$ (l'inégalité change de sens). Il faut distinguer les cas, ce qui est souvent plus complexe que de ramener l'inéquation à une étude de signe d'un quotient, comme montré dans l'exemple et le corrigé.

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