Définition
La fonction cube est la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ qui à tout nombre réel $x$ associe son cube $x^3$. On la note $f(x) = x^3$.
Sa courbe représentative est une cubique. Elle est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Méthode : La fonction cube
Calculer une image
Pour calculer l'image d'un nombre $a$ par la fonction cube, on remplace $x$ par $a$ dans l'expression $x^3$. On obtient $f(a) = a^3$.
Résoudre $x^3 = k$
L'équation $x^3 = k$ admet une unique solution réelle, qui est la racine cubique de $k$. On la note $\sqrt[3]{k}$. Si $k=0$, $x=0$. Si $k\gt 0$, $x\gt 0$. Si $k\lt 0$, $x\lt 0$.
Comparer des cubes
La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Cela signifie que si $a \lt b$, alors $a^3 \lt b^3$. On peut donc comparer des nombres en comparant leurs cubes.
Étudier le signe de $x^3$
Le signe de $x^3$ est le même que le signe de $x$. Si $x \lt 0$, alors $x^3 \lt 0$. Si $x = 0$, alors $x^3 = 0$. Si $x \gt 0$, alors $x^3 \gt 0$.
Exemple résolu
Pour $x = 0{,}5$, $f(0{,}5) = (0{,}5)^3 = 0{,}5 × 0{,}5 × 0{,}5 = 0{,}25 × 0{,}5 = 0{,}125$.
Comme la fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, elle conserve l'ordre. Donc $(-1{,}5)^3 \lt (-1{,}2)^3$.
Confondre avec la fonction carré ou la fonction inverse
- Croire que la fonction cube est paire comme la fonction carré. Elle est impaire : $(-x)^3 = -x^3$, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.
- Le signe de $x^3$ est le même que le signe de $x$, contrairement à $x^2$ qui est toujours positif ou nul.
- La fonction cube est définie sur $\mathbb{R}$, contrairement à la fonction inverse qui n'est pas définie en $0$.
Exercice type contrôle
Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = x^3$.- Calculer $f(-3)$ et $f(\frac{1}{2})$.
- Résoudre l'inéquation $x^3 \lt 64$.
- Donner le tableau de variations de la fonction $f$.
- Calcul de $f(-3)$ et $f(\frac{1}{2})$ :
$f(-3) = (-3)^3 = (-3) × (-3) × (-3) = 9 × (-3) = -27$.
$f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$. - Résolution de l'inéquation $x^3 \lt 64$ :
On cherche les valeurs de $x$ telles que $x^3 \lt 64$.
On sait que $4^3 = 4 × 4 × 4 = 16 × 4 = 64$.
Comme la fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, elle conserve l'ordre. Donc, si $x^3 \lt 64$, alors $x \lt 4$.
L'ensemble des solutions est l'intervalle $]-\infty\,;4[$. - Tableau de variations de la fonction $f$ :
La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Questions fréquentes
Comment savoir si la fonction cube est paire ou impaire ?
Pour la fonction cube, $f(-x) = (-x)^3 = (-1)^3 × x^3 = -x^3$. Donc $f(-x) = -f(x)$. La fonction cube est impaire. Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Est-ce que $x^3$ est toujours positif ?
Comment tracer la courbe de la fonction cube ?
Y a-t-il une différence entre $x^3$ et $3x$ ?
Pour aller plus loin
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