Définition
La fonction racine carrée est la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0\,;+\infty[$ par $f(x) = \sqrt{x}$. Pour tout nombre réel $x \geq 0$, $\sqrt{x}$ est le nombre réel positif dont le carré est $x$. Autrement dit, si $y = \sqrt{x}$, alors $y \geq 0$ et $y^2 = x$.
Méthode : La fonction racine carrée
Calculer une image
Pour calculer l'image d'un nombre $x$ par la fonction racine carrée, on applique la définition : $f(x) = \sqrt{x}$. Le nombre $x$ doit être positif ou nul.
Déterminer l'ensemble de définition
La fonction racine carrée est définie uniquement pour les nombres réels $x \geq 0$. L'ensemble de définition est $[0\,;+\infty[$. Si une expression contient une racine carrée, l'expression sous le radical doit être positive ou nulle.
Comparer des racines carrées
La fonction racine carrée est strictement croissante sur son ensemble de définition $[0\,;+\infty[$. Cela signifie que si $0 \leq a \lt b$, alors $\sqrt{a} \lt \sqrt{b}$. Inversement, si $\sqrt{a} \lt \sqrt{b}$, alors $a \lt b$.
Résoudre une équation ou inéquation
Pour résoudre une équation du type $\sqrt{x} = k$ (avec $k \geq 0$), on élève les deux membres au carré : $(\sqrt{x})^2 = k^2$, ce qui donne $x = k^2$. Pour une inéquation, on utilise la stricte croissance de la fonction racine carrée.
Exemple résolu
Erreurs courantes avec la fonction racine carrée
- Confondre $\sqrt{x^2}$ et $(\sqrt{x})^2$. Pour $x \geq 0$, $(\sqrt{x})^2 = x$. Mais $\sqrt{x^2} = |x|$, qui est égal à $x$ si $x \geq 0$ et à $-x$ si $x \lt 0$. Par exemple, $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$, et non $-3$.
- Oublier la condition de positivité sous la racine. L'expression $\sqrt{A}$ n'est définie que si $A \geq 0$. Par exemple, $\sqrt{x-5}$ n'est définie que si $x-5 \geq 0$, c'est-à-dire $x \geq 5$.
- Appliquer la racine carrée à une somme ou une différence : $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ en général. Par exemple, $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$, alors que $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$.
- Oublier que la fonction racine carrée est définie sur $[0\,;+\infty[$. Une image ne peut être calculée pour un nombre négatif.
Exercice type contrôle
Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = \sqrt{2x+6}$.- Quel est l'ensemble de définition de la fonction $g$ ?
- Calculer $g(5)$ et $g(-1)$.
- Résoudre l'équation $g(x) = 4$.
- Pour que $g(x)$ soit définie, l'expression sous la racine doit être positive ou nulle. On doit donc avoir $2x+6 \geq 0$.
$2x \geq -6$
$x \geq -\frac{6}{2}$
$x \geq -3$
L'ensemble de définition de $g$ est donc l'intervalle $[-3\,;+\infty[$. - Pour calculer $g(5)$ :
$g(5) = \sqrt{2 \times 5 + 6} = \sqrt{10 + 6} = \sqrt{16} = 4$.
Pour calculer $g(-1)$ :
$g(-1) = \sqrt{2 \times (-1) + 6} = \sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2$. - Pour résoudre l'équation $g(x) = 4$ :
$\sqrt{2x+6} = 4$
On élève les deux membres au carré (les deux membres sont positifs) :
$(\sqrt{2x+6})^2 = 4^2$
$2x+6 = 16$
$2x = 16 - 6$
$2x = 10$
$x = \frac{10}{2}$
$x = 5$
On vérifie que $x=5$ appartient bien à l'ensemble de définition $[-3\,;+\infty[$. C'est le cas.
La solution de l'équation est $5$.
Questions fréquentes
Pourquoi la fonction racine carrée n'est-elle définie que pour les nombres positifs ?
Comment tracer la courbe représentative de la fonction racine carrée ?
La fonction racine carrée est-elle toujours croissante ?
Y a-t-il un lien entre la fonction racine carrée et la fonction carré ?
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