Fonctions · Fiche N°48 / 80

Fonctions paires et fonctions impaires

Définition, méthode pas à pas, exemple corrigé et exercice type contrôle de Seconde.

Maths Seconde Lecture : 5 min Programme officiel 2019

Définition

Une fonction $f$ est dite paire si, pour tout $x$ de son ensemble de définition $\mathcal{D}_f$, $f(-x) = f(x)$. Géométriquement, la courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Une fonction $f$ est dite impaire si, pour tout $x$ de son ensemble de définition $\mathcal{D}_f$, $f(-x) = -f(x)$. Géométriquement, la courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère.

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f(x) = x² est paire : f(−x) = f(x), la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Bon réflexe : Toujours commencer par vérifier la symétrie de l'ensemble de définition avant tout calcul.

Méthode : Fonctions paires et fonctions impaires

1

Vérifier la symétrie de l'ensemble de définition

Pour qu'une fonction puisse être paire ou impaire, son ensemble de définition $\mathcal{D}_f$ doit être symétrique par rapport à $0$. C'est-à-dire que si $x \in \mathcal{D}_f$, alors $-x \in \mathcal{D}_f$. Par exemple, $[-3\,;3]$ est symétrique, mais $[-3\,;5]$ ne l'est pas.

2

Calculer $f(-x)$

Dans l'expression de la fonction $f(x)$, remplacer chaque occurrence de $x$ par $(-x)$. Attention aux parenthèses et aux signes.

3

Comparer $f(-x)$ avec $f(x)$ et $-f(x)$

  • Si $f(-x) = f(x)$, alors la fonction est paire.
  • Si $f(-x) = -f(x)$, alors la fonction est impaire.
  • Si aucune de ces égalités n'est vérifiée, la fonction n'est ni paire, ni impaire.

Exemple résolu

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 4x$. Déterminer si $f$ est paire, impaire ou ni l'un ni l'autre.
1
Vérifier la symétrie de l'ensemble de définition
L'ensemble de définition est $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $-x \in \mathbb{R}$. L'ensemble est symétrique par rapport à $0$.
2
Calculer $f(-x)$
On remplace $x$ par $(-x)$ dans l'expression de $f(x)$ :
$$f(-x) = (-x)^3 - 4(-x)$$
$$f(-x) = -x^3 + 4x$$
3
Comparer $f(-x)$ avec $f(x)$ et $-f(x)$
On a $f(x) = x^3 - 4x$.
Calculons $-f(x)$ :
$$-f(x) = -(x^3 - 4x)$$
$$-f(x) = -x^3 + 4x$$
On constate que $f(-x) = -x^3 + 4x$ et $-f(x) = -x^3 + 4x$.
Donc, $f(-x) = -f(x)$.
La fonction $f$ est impaire.

Piège fréquent en Seconde : Erreurs de calcul avec les signes

  1. Oublier les parenthèses lors du remplacement de $x$ par $(-x)$, par exemple écrire $-x^2$ au lieu de $(-x)^2 = x^2$.
  2. Confondre $f(-x)$ et $-f(x)$. Il est conseillé de calculer les deux expressions séparément pour éviter les erreurs.
  3. Conclure trop vite. Une fonction n'est pas forcément paire ou impaire ; elle peut n'être ni l'un ni l'autre. Il faut vérifier les deux conditions ou prouver qu'aucune n'est vérifiée.

Exercice type contrôle

Pour chacune des fonctions suivantes, définies sur $\mathbb{R}$, déterminer si elle est paire, impaire ou ni l'un ni l'autre.
  1. $g(x) = 2x^4 - 3x^2 + 1$
  2. $h(x) = x^2 + x$
1. Pour la fonction $g(x) = 2x^4 - 3x^2 + 1$ :
L'ensemble de définition est $\mathbb{R}$, qui est symétrique par rapport à $0$.
Calculons $g(-x)$ :
$$g(-x) = 2(-x)^4 - 3(-x)^2 + 1$$
$$g(-x) = 2x^4 - 3x^2 + 1$$
On constate que $g(-x) = g(x)$.
Donc, la fonction $g$ est paire.

2. Pour la fonction $h(x) = x^2 + x$ :
L'ensemble de définition est $\mathbb{R}$, qui est symétrique par rapport à $0$.
Calculons $h(-x)$ :
$$h(-x) = (-x)^2 + (-x)$$
$$h(-x) = x^2 - x$$
Comparons $h(-x)$ avec $h(x)$ et $-h(x)$ :
On a $h(x) = x^2 + x$.
On a $-h(x) = -(x^2 + x) = -x^2 - x$.
On voit que $h(-x) = x^2 - x$ n'est égal ni à $h(x)$ ni à $-h(x)$.
Donc, la fonction $h$ n'est ni paire, ni impaire.

Questions fréquentes

Une fonction peut-elle être à la fois paire et impaire ?
Oui, une seule fonction peut être à la fois paire et impaire : la fonction nulle, $f(x) = 0$. En effet, $f(-x) = 0$ et $f(x) = 0$, donc $f(-x) = f(x)$ (paire). Et $f(-x) = 0$ et $-f(x) = -0 = 0$, donc $f(-x) = -f(x)$ (impaire).
Comment reconnaître graphiquement une fonction paire ou impaire ?
La courbe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Si vous pliez la feuille le long de l'axe des ordonnées, les deux parties de la courbe se superposent. La courbe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère. Si vous faites une rotation de $180^\circ$ autour de l'origine, la courbe se superpose à elle-même.
Est-ce que toutes les fonctions sont paires ou impaires ?
Non, la plupart des fonctions ne sont ni paires, ni impaires. Par exemple, $f(x) = x^2 + x$ est un exemple de fonction qui n'est ni l'un, ni l'autre.
Pourquoi l'ensemble de définition doit-il être symétrique ?
Pour pouvoir comparer $f(x)$ et $f(-x)$, il faut que les deux valeurs soient définies. Si $x$ est dans le domaine de définition mais $-x$ ne l'est pas, alors $f(-x)$ n'existe pas et la comparaison est impossible. Par exemple, pour $f(x) = \sqrt{x}$, définie sur $[0\,;+\infty[$, $f(4) = 2$ est défini, mais $f(-4)$ ne l'est pas.

Pour aller plus loin

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