Définition
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
- On dit que $f$ est croissante sur $I$ si, pour tous nombres $a$ et $b$ de $I$ tels que $a \lt b$, on a $f(a) \leq f(b)$. La fonction conserve l'ordre.
- On dit que $f$ est décroissante sur $I$ si, pour tous nombres $a$ et $b$ de $I$ tels que $a \lt b$, on a $f(a) \geq f(b)$. La fonction inverse l'ordre.
- On dit que $f$ est constante sur $I$ si, pour tous nombres $a$ et $b$ de $I$ tels que $a \lt b$, on a $f(a) = f(b)$.
Bon réflexe : Pour étudier le sens de variation, compare toujours $f(b)$ et $f(a)$ pour $a \lt b$ en étudiant le signe de $f(b) - f(a)$.
Méthode : Sens de variation d'une fonction
1
Choisir deux nombres
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On choisit deux nombres $a$ et $b$ dans $I$ tels que $a \lt b$.
2
Calculer les images
On calcule les images $f(a)$ et $f(b)$.
3
Étudier la différence
On étudie le signe de la différence $f(b) - f(a)$.
- Si $f(b) - f(a) \geq 0$, alors $f(b) \geq f(a)$, donc $f$ est croissante sur $I$.
- Si $f(b) - f(a) \leq 0$, alors $f(b) \leq f(a)$, donc $f$ est décroissante sur $I$.
4
Conclure
On rédige la conclusion en précisant l'intervalle d'étude.
Exemple résolu
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -2x + 3$. Démontrer son sens de variation.
1
Choisir deux nombres $a$ et $b$
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a \lt b$.
2
Calculer les images $f(a)$ et $f(b)$
On a $f(a) = -2a + 3$ et $f(b) = -2b + 3$.
3
Étudier le signe de la différence $f(b) - f(a)$
$f(b) - f(a) = (-2b + 3) - (-2a + 3)$
$f(b) - f(a) = -2b + 3 + 2a - 3$
$f(b) - f(a) = -2b + 2a$
$f(b) - f(a) = -2(b - a)$
$f(b) - f(a) = -2b + 3 + 2a - 3$
$f(b) - f(a) = -2b + 2a$
$f(b) - f(a) = -2(b - a)$
4
Déduire le sens de variation
On sait que $a \lt b$, donc $b - a \gt 0$.
Puisque $b - a$ est un nombre positif, $-2(b - a)$ est un nombre négatif (car $-2 \lt 0$).
Donc $f(b) - f(a) \lt 0$, ce qui signifie $f(b) \lt f(a)$.
Puisque $a \lt b$ implique $f(a) \gt f(b)$, la fonction $f$ inverse l'ordre.
Puisque $b - a$ est un nombre positif, $-2(b - a)$ est un nombre négatif (car $-2 \lt 0$).
Donc $f(b) - f(a) \lt 0$, ce qui signifie $f(b) \lt f(a)$.
Puisque $a \lt b$ implique $f(a) \gt f(b)$, la fonction $f$ inverse l'ordre.
La fonction $f$ est donc décroissante sur $\mathbb{R}$.
Confondre le signe de $x$ et le signe de $f(x)$
- Une fonction peut être croissante tout en ayant des images négatives (ex: $f(x) = x-5$ sur $[0\,;2]$).
- Une fonction peut être décroissante tout en ayant des images positives (ex: $f(x) = -x+5$ sur $[0\,;2]$).
- Le sens de variation dépend de la comparaison des images $f(a)$ et $f(b)$ pour $a \lt b$, et non du signe des images elles-mêmes.
Exercice type contrôle
Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0\,; +\infty[$ par $g(x) = x^2 + 1$.- Calculer $g(1)$ et $g(3)$.
- Soient $a$ et $b$ deux nombres réels de l'intervalle $[0\,; +\infty[$ tels que $a \lt b$. Montrer que $g(b) - g(a) = (b - a)(b + a)$.
- En déduire le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0\,; +\infty[$.
- Calcul de $g(1)$ et $g(3)$ :
$g(1) = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2$.
$g(3) = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$. - Démonstration de $g(b) - g(a) = (b - a)(b + a)$ :
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels de l'intervalle $[0\,; +\infty[$ tels que $a \lt b$.
$g(b) - g(a) = (b^2 + 1) - (a^2 + 1)$
$g(b) - g(a) = b^2 + 1 - a^2 - 1$
$g(b) - g(a) = b^2 - a^2$
On reconnaît l'identité remarquable $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$.
Donc $g(b) - g(a) = (b - a)(b + a)$. - Déduction du sens de variation de $g$ sur $[0\,; +\infty[$ :
On sait que $a \lt b$, donc $b - a \gt 0$.
Puisque $a$ et $b$ sont dans l'intervalle $[0\,; +\infty[$, $a \geq 0$ et $b \geq 0$.
Donc $b + a \geq 0$.
Le produit $(b - a)(b + a)$ est le produit de deux nombres positifs (un strictement positif, l'autre positif ou nul), il est donc positif ou nul.
Ainsi, $g(b) - g(a) \geq 0$.
Puisque $a \lt b$ implique $g(a) \leq g(b)$, la fonction $g$ conserve l'ordre.
La fonction $g$ est donc croissante sur l'intervalle $[0\,; +\infty[$.
Questions fréquentes
Comment savoir si une fonction est croissante ou décroissante sans faire de calculs ?
Graphiquement, une fonction est croissante si sa courbe "monte" de gauche à droite. Elle est décroissante si sa courbe "descend" de gauche à droite. Pour les fonctions usuelles (affines, carré, inverse), il faut connaître leurs variations par cœur sur leurs intervalles de définition.
Est-ce qu'une fonction peut changer de sens de variation ?
Oui, absolument ! Une fonction peut être croissante sur un intervalle et décroissante sur un autre. Par exemple, la fonction carré $f(x) = x^2$ est décroissante sur $]-\infty\,; 0]$ et croissante sur $[0\,; +\infty[$. C'est pourquoi il est important de préciser l'intervalle d'étude.
Pourquoi ne pas utiliser la dérivée pour étudier le sens de variation ?
La notion de dérivée est introduite en classe de Première. En Seconde, l'étude du sens de variation se fait en comparant $f(a)$ et $f(b)$ pour $a \lt b$, ou en utilisant les variations des fonctions de référence et les règles sur les opérations (addition, multiplication par un réel, inverse, etc.).
Qu'est-ce qu'un tableau de variations ?
Un tableau de variations est une représentation synthétique du sens de variation d'une fonction sur ses intervalles de définition. Il indique les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante, ainsi que les valeurs des extremums (maximums et minimums locaux).
Pour aller plus loin
Le passage en Seconde est difficile ?
Adil accompagne les élèves de Seconde, à domicile dans le Val d'Oise ou en ligne. Un seul prof, du premier cours jusqu'au Bac.